Theorem efgs1b 18149

Description: Every extension sequence ending in an irreducible word is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgs1b	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (#‘𝐴) = 1))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1b

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 3733	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) → ¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
2		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
3	1, 2	eleq2s 2719	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 → ¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
4		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
5		efgval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
6		efgval2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩)
7		efgval2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
8		efgred.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
9	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsdm 18143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(#‘𝐴))(𝐴‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑎 − 1)))))
10	9	simp1bi 1076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
12		lennncl 13325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylbi 207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
14	10, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
15		elnn1uz2 11765	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐴) = 1 ∨ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
16	14, 15	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐴) = 1 ∨ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
17	16	ord 392	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (#‘𝐴) = 1 → (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	10	eldifad 3586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
20		wrdf 13310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
22		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
24		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
25	24	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
26	23, 25	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
27		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
28	22, 26, 27	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
29		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
30	28, 29	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
31		lbfzo0 12507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) ↔ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
32	30, 31	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
33		fzoend 12559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
34		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)))
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)))
36		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
38		fzoval 12471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
40	35, 39	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐴)))
41	21, 40	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
42		uz2m1nn 11763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
43	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsdmi 18145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
44	42, 43	sylan2 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
45		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
46	45	rneqd 5353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
47	46	eliuni 4526	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎))
48	41, 44, 47	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎))
49		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘𝑥))
50	49	rneqd 5353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘𝑥))
51	50	cbviunv 4559	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)
52	48, 51	syl6eleq 2711	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
53	52	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)))
54	17, 53	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (#‘𝐴) = 1 → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)))
55	54	con1d 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥) → (#‘𝐴) = 1))
56	3, 55	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 → (#‘𝐴) = 1))
57	9	simp2bi 1077	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
58		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → ((#‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
59		1m1e0 11089	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
60	58, 59	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → ((#‘𝐴) − 1) = 0)
61	60	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
62	61	eleq1d 2686	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → ((𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘0) ∈ 𝐷))
63	57, 62	syl5ibrcom 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
64	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsval 18144	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐴) = (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)))
65	64	eleq1d 2686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
66	63, 65	sylibrd 249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐴) = 1 → (𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷))
67	56, 66	impbid 202	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (#‘𝐴) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {crab 2916   ∖ cdif 3571  ∅c0 3915  {csn 4177  ⟨cop 4183  ⟨cotp 4185  ∪ ciun 4520   ↦ cmpt 4729   I cid 5023   × cxp 5112  dom cdm 5114  ran crn 5115  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   splice csplice 13296  ⟨“cs2 13586   ~_FG cefg 18119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299

This theorem is referenced by:  efgredlema  18153  efgredeu  18165