Theorem efgsdmi 18145

Description: Property of the last link in the chain of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsdmi	⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsdmi

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 18144	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
8	7	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
9		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ)
10		nnuz 11723	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
11	9, 10	syl6eleq 2711	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
12		eluzfz1 12348	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...((#‘𝐹) − 1)))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...((#‘𝐹) − 1)))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 18143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
15	14	simp1bi 1076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
17	16	eldifad 3586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
18		lencl 13324	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
19		nn0z 11400	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
20		fzoval 12471	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(#‘𝐹)) = (1...((#‘𝐹) − 1)))
21	17, 18, 19, 20	4syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (1..^(#‘𝐹)) = (1...((#‘𝐹) − 1)))
22	13, 21	eleqtrrd 2704	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
23		fzoend 12559	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
25	14	simp3bi 1078	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
26	25	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
27		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
28		oveq1 6657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑖 − 1) = (((#‘𝐹) − 1) − 1))
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1)))
30	29	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
31	30	rneqd 5353	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
32	27, 31	eleq12d 2695	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1)))))
33	32	rspcv 3305	. . 3 ⊢ (((#‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1)))))
34	24, 26, 33	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
35	8, 34	eqeltrd 2701	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916   ∖ cdif 3571  ∅c0 3915  {csn 4177  ⟨cop 4183  ⟨cotp 4185  ∪ ciun 4520   ↦ cmpt 4729   I cid 5023   × cxp 5112  dom cdm 5114  ran crn 5115  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554  0cc0 9936  1c1 9937   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   splice csplice 13296  ⟨“cs2 13586   ~_FG cefg 18119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299

This theorem is referenced by:  efgs1b  18149  efgredlemg  18155  efgredlemd  18157  efgredlem  18160