Theorem elfzodifsumelfzo 12533

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 12431	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		elfz2nn0 12431	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑃) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃))
3		elfzo0 12508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)))
4		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		znnsub 11423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
7	4, 5, 6	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
8		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
9		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
11	8, 9, 10	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
13		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
14		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
16		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	13, 15, 17	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
20		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
22	21	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))
23		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
24	19, 22, 23	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
25	24	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
26		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
27	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℝ)
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
30		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 0 < 𝑃))
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 0 < 𝑃))
32		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℤ)
33		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
34	33	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
35	32, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
37	31, 36	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
38	37	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))))
39	38	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 𝑃 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℕ))))
40	39	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℕ)))
41	40	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
43	25, 42	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
44	43	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
46	45	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
47		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
49	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
50		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
51	48, 49, 50	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
53	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
56	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
57	52, 55, 56	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
59	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
60	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
61	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
62	59, 60, 61	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ↔ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)))
63	62	exbiri 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
64	63	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
65	64	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
67	66	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
69	68	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃))
70		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
71	58, 69, 70	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
72	71	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
73		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃) ↔ ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))
75	74	exp53 647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
76	7, 75	sylbird 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
77	76	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
78	77	com14 96	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
79	78	3imp 1256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
80	3, 79	sylbi 207	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
81	80	com13 88	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
82	81	3adant1 1079	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
83	2, 82	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
84	83	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
85	1, 84	sylbi 207	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
86	85	imp 445	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  12534  swrdco  13583