Theorem elfzodifsumelfzo 12533

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	|- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... P ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) )

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 12431	. . 3 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
2		elfz2nn0 12431	. . . . 5 |- ( N e. ( 0 ... P ) <-> ( N e. NN0 /\ P e. NN0 /\ N <_ P ) )
3		elfzo0 12508	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) <-> ( I e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN /\ I < ( N - M ) ) )
4		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
5		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
6		znnsub 11423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
7	4, 5, 6	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
8		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> I e. NN0 )
9		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> M e. NN0 )
10		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( I + M ) e. NN0 )
11	8, 9, 10	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( I + M ) e. NN0 )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> ( I + M ) e. NN0 )
13		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. RR )
14		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
16		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
18	13, 15, 17	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
20		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ M )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ M )
22	21	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( 0 <_ M /\ M < N ) )
23		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < N ) -> 0 < N ) )
24	19, 22, 23	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> 0 < N )
25	24	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> 0 < N ) )
26		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. RR )
27	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
28		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN0 -> P e. RR )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> P e. RR )
30		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( 0 < N /\ N <_ P ) -> 0 < P ) )
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 < N /\ N <_ P ) -> 0 < P ) )
32		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN0 -> P e. ZZ )
33		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. NN <-> ( P e. ZZ /\ 0 < P ) )
34	33	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. ZZ -> ( 0 < P -> P e. NN ) )
35	32, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN0 -> ( 0 < P -> P e. NN ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 < P -> P e. NN ) )
37	31, 36	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 < N /\ N <_ P ) -> P e. NN ) )
38	37	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> ( N <_ P -> P e. NN ) ) ) )
39	38	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN0 -> ( N <_ P -> ( 0 < N -> ( N e. NN0 -> P e. NN ) ) ) )
40	39	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( 0 < N -> ( N e. NN0 -> P e. NN ) ) )
41	40	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 < N -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) ) )
43	25, 42	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) ) )
44	43	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) )
46	45	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> P e. NN )
47		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( I e. NN0 -> I e. RR )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> I e. RR )
49	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> M e. RR )
50		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I e. RR /\ M e. RR ) -> ( I + M ) e. RR )
51	48, 49, 50	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( I + M ) e. RR )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> ( I + M ) e. RR )
53	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> N e. RR )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> N e. RR )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> N e. RR )
56	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> P e. RR )
57	52, 55, 56	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> ( ( I + M ) e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) /\ N <_ P ) -> ( ( I + M ) e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) )
59	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> I e. RR )
60	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> M e. RR )
61	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR )
62	59, 60, 61	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( I + M ) < N <-> I < ( N - M ) ) )
63	62	exbiri 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( I e. NN0 -> ( I < ( N - M ) -> ( I + M ) < N ) ) )
64	63	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( I + M ) < N ) ) )
65	64	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> ( I + M ) < N ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> ( I + M ) < N ) )
67	66	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( I + M ) < N )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> ( I + M ) < N )
69	68	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) /\ N <_ P ) -> ( ( I + M ) < N /\ N <_ P ) )
70		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( I + M ) e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( ( I + M ) < N /\ N <_ P ) -> ( I + M ) < P ) )
71	58, 69, 70	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) /\ N <_ P ) -> ( I + M ) < P )
72	71	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> ( I + M ) < P )
73		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I + M ) e. ( 0..^ P ) <-> ( ( I + M ) e. NN0 /\ P e. NN /\ ( I + M ) < P ) )
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) )
75	74	exp53 647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
76	7, 75	sylbird 250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( N - M ) e. NN -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
77	76	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( N - M ) e. NN -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
78	77	com14 96	. . . . . . . . 9 |- ( I e. NN0 -> ( ( N - M ) e. NN -> ( I < ( N - M ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
79	78	3imp 1256	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN /\ I < ( N - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
80	3, 79	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
81	80	com13 88	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
82	81	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
83	2, 82	sylbi 207	. . . 4 |- ( N e. ( 0 ... P ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
84	83	com12 32	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( N e. ( 0 ... P ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
85	1, 84	sylbi 207	. 2 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( N e. ( 0 ... P ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
86	85	imp 445	1 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... P ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  12534  swrdco  13583