Theorem ex-gcd 27314

Description: Example for df-gcd 15217. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 11189	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 11401	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 11192	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 11401	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 15244	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 708	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 11102	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 11095	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 11170	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 10228	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2631	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 6661	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 11410	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 15235	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 11161	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2631	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 15247	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 15248	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 15247	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 11094	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 10040	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 11114	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 10160	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 14036	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2652	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2652	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2644	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2644	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939   ≤ cle 10075  -cneg 10267  3c3 11071  6c6 11074  9c9 11077  ℤcz 11377  abscabs 13974   gcd cgcd 15216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  ex-lcm  27315