Theorem ex-prmo 27316

Description: Example for df-prmo 15736: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 11514	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 15743	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 15820	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4096	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2644	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 11630	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6194	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 11192	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 15743	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 15819	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4096	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2644	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 11143	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6194	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 11191	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 15743	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 15818	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4096	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 11142	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6194	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 11190	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 15743	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 15817	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4093	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 11314	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 11310	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 11307	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 11141	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6194	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 15837	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 11104	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 11095	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 11649	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 10047	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 10225	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 32, 40, 41	decmul1 11585	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2648	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2648	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2648	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2648	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ifcif 4086  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493  ℙcprime 15385  #_pcprmo 15735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-prmo 15736

This theorem is referenced by: (None)