Theorem facth 24061

Description: The factor theorem. If a polynomial 𝐹 has a root at 𝐴, then 𝐺 = 𝑥 − 𝐴 is a factor of 𝐹 (and the other factor is 𝐹 quot 𝐺). This is part of Metamath 100 proof #89. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
facth.1	⊢ 𝐺 = (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
facth	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))

Proof of Theorem facth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		facth.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝐴}))
2		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
3	1, 2	plyrem 24060	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}))
4	3	3adant3 1081	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}))
5		simp3 1063	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	5	sneqd 4189	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → {(𝐹‘𝐴)} = {0})
7	6	xpeq2d 5139	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}) = (ℂ × {0}))
8	4, 7	eqtrd 2656	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}))
9		cnex 10017	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ℂ ∈ V)
11		simp1 1061	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
12		plyf 23954	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
14	1	plyremlem 24059	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
15	14	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
16	15	simp1d 1073	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
17		plyssc 23956	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
18	17, 11	sseldi 3601	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
19	15	simp2d 1074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) = 1)
20		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 1 ≠ 0)
22	19, 21	eqnetrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) ≠ 0)
23		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = (deg‘0𝑝))
24		dgr0 24018	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = 0)
26	25	necon3i 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘𝐺) ≠ 0 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
27	22, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
28		quotcl2 24057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
29	18, 16, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
30		plymulcl 23977	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
31	16, 29, 30	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
32		plyf 23954	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ) → (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
34		ofsubeq0 11017	. . 3 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))))
35	10, 13, 33, 34	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))))
36	8, 35	mpbid 222	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  {csn 4177   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   − cmin 10266  0_𝑝c0p 23436  Polycply 23940  X_pcidp 23941  degcdgr 23943   quot cquot 24045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046

This theorem is referenced by:  fta1lem  24062  vieta1lem1  24065  vieta1lem2  24066