Theorem vieta1lem1 24065

Description: Lemma for vieta1 24067. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vieta1.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
vieta1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5	⊢ (𝜑 → (#‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7	⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (#‘(◡𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (◡𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9	⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))

Assertion

Ref	Expression
vieta1lem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta1lem.9	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))
2		plyssc 23956	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3		vieta1.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5	2, 4	sseldi 3601	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6		vieta1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
7		cnvimass 5485	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
8	6, 7	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9		plyf 23954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11		fdm 6051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
13	8, 12	syl5sseq 3653	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℂ)
14	13	sselda 3603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
15		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))
16	15	plyremlem 24059	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
18	17	simp1d 1073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
19	17	simp2d 1074	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
20		ax-1ne0 10005	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ≠ 0)
22	19, 21	eqnetrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
23		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
24		dgr0 24018	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
26	25	necon3i 2826	. . . . 5 ⊢ ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
27	22, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
28		quotcl2 24057	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
29	5, 18, 27, 28	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
30	1, 29	syl5eqel 2705	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
31		ax-1cn 9994	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ∈ ℂ)
33		vieta1lem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
34	33	nncnd 11036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
35	34	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
36		dgrcl 23989	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
37	30, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 11353	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
39		addcom 10222	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
40	31, 35, 39	sylancr 695	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
41		vieta1lem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
42		vieta1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
43	41, 42	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
44	43	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
45	6	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}))
46		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
47	10, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
48		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
50	45, 49	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
51	50	simplbda 654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝑧) = 0)
52	15	facth 24061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))))
53	4, 14, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))))
54	1	oveq2i 6661	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))))
55	53, 54	syl6eqr 2674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄))
56	55	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)))
57	33	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
58	41, 57	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
59	58	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
60	42, 59	syl5eqner 2869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
62	61, 24	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
63	62	necon3i 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
64	60, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
66	55, 65	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) ≠ 0𝑝)
67		plymul0or 24036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
68	18, 30, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
69	68	necon3abid 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
70	66, 69	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ¬ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
71		neanior 2886	. . . . . . . 8 ⊢ (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
72	70, 71	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝))
73	72	simprd 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
74		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))
75		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
76	74, 75	dgrmul 24026	. . . . . 6 ⊢ ((((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
77	18, 27, 30, 73, 76	syl22anc 1327	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
78	44, 56, 77	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
79	19	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
80	40, 78, 79	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
81	32, 35, 38, 80	addcanad 10241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
82	30, 81	jca 554	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {csn 4177   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117  Σcsu 14416  0_𝑝c0p 23436  Polycply 23940  X_pcidp 23941  coeffccoe 23942  degcdgr 23943   quot cquot 24045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046

This theorem is referenced by:  vieta1lem2  24066