Theorem frgpeccl 18174

Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgp0.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpeccl.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpeccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgpeccl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frgpeccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgp0.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2		fvex 6201	. . . 4 ⊢ ( ~FG ‘𝐼) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ ∼ ∈ V
4	3	ecelqsi 7803	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ (𝑊 / ∼ ))
5		frgpeccl.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
6	5	efgrcl 18128	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
7	6	simpld 475	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
8		frgp0.m	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
9		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
10	8, 9, 1	frgpval 18171	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ∼ ))
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ∼ ))
12	6	simprd 479	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
13		2on 7568	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ On
14		xpexg 6960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
15	7, 13, 14	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
16		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
17	9, 16	frmdbas 17389	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
19	12, 18	eqtr4d 2659	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
20	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ∼ ∈ V)
21		fvexd 6203	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ V)
22	11, 19, 20, 21	qusbas 16205	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
23		frgpeccl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
24	22, 23	syl6eqr 2674	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑊 / ∼ ) = 𝐵)
25	4, 24	eleqtrd 2703	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   I cid 5023   × cxp 5112  Oncon0 5723  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  2_𝑜c2o 7554  [cec 7740   / cqs 7741  Word cword 13291  Basecbs 15857   /_s cqus 16165  freeMndcfrmd 17384   ~_FG cefg 18119  freeGrpcfrgp 18120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-imas 16168  df-qus 16169  df-frmd 17386  df-frgp 18123

This theorem is referenced by:  frgpinv  18177  frgpmhm  18178  vrgpf  18181  frgpup3lem  18190