Theorem gsumspl 17381

Description: The primary purpose of the splice construction is to enable local rewrites. Thus, in any monoidal valuation, if a splice does not cause a local change it does not cause a global change. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumspl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumspl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
gsumspl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
gsumspl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
gsumspl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.eq	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
gsumspl	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem gsumspl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumspl.eq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
2	1	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3	2	oveq1d 6665	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
4		gsumspl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
5		gsumspl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
6		gsumspl.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
7		gsumspl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
8		splval 13502	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
9	4, 5, 6, 7, 8	syl13anc 1328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
10	9	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
11		gsumspl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
12		swrdcl 13419	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵)
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵)
14		ccatcl 13359	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
15	13, 7, 14	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
16		swrdcl 13419	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
17	4, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
18		gsumspl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
19		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
20	18, 19	gsumccat 17378	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
21	11, 15, 17, 20	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
22	18, 19	gsumccat 17378	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
23	11, 13, 7, 22	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
24	23	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
25	10, 21, 24	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
26		gsumspl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Word 𝐵)
27		splval 13502	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
28	4, 5, 6, 26, 27	syl13anc 1328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
29	28	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
30		ccatcl 13359	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
31	13, 26, 30	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
32	18, 19	gsumccat 17378	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
33	11, 31, 17, 32	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
34	18, 19	gsumccat 17378	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
35	11, 13, 26, 34	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
36	35	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
37	29, 33, 36	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
38	3, 25, 37	3eqtr4d 2666	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183  ⟨cotp 4185  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  ...cfz 12326  #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   substr csubstr 13295   splice csplice 13296  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941   Σ_g cgsu 16101  Mndcmnd 17294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-splice 13304  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  17915