Theorem gsumccat 17378

Description: Homomorphic property of composites. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumwcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumccat	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Proof of Theorem gsumccat

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (∅ ++ 𝑋))
2	1	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)))
3		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
4		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	4	gsum0 17278	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
6	3, 5	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g‘𝐺))
7	6	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
8	2, 7	eqeq12d 2637	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋))))
9		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (𝑊 ++ ∅))
10	9	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)))
11		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (𝐺 Σg ∅))
12	11, 5	syl6eq 2672	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (0g‘𝐺))
13	12	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)))
14	10, 13	eqeq12d 2637	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺))))
15		gsumwcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
16		gsumccat.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
17		simpl1 1064	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ Mnd)
18		lennncl 13325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
19	18	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
20	19	adantrr 753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
21		lennncl 13325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
22	21	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
23	22	adantrl 752	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
24	20, 23	nnaddcld 11067	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) ∈ ℕ)
25		nnm1nn0 11334	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) ∈ ℕ → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
27		nn0uz 11722	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
28	26, 27	syl6eleq 2711	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
29		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
30		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
31		ccatcl 13359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
32	29, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
33		wrdf 13310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
35		ccatlen 13360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)))
36	29, 30, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)))
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0..^((#‘𝑊) + (#‘𝑋))))
38	20	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
39	23	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑋) ∈ ℤ)
40	38, 39	zaddcld 11486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) ∈ ℤ)
41		fzoval 12471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝑊) + (#‘𝑋))) = (0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^((#‘𝑊) + (#‘𝑋))) = (0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
43	37, 42	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
44	43	feq2d 6031	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑊 ++ 𝑋):(0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵 ↔ (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))⟶𝐵))
45	34, 44	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))⟶𝐵)
46	15, 16, 17, 28, 45	gsumval2 17280	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
47		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
48	20, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
49	48, 27	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
50		wrdf 13310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵)
51	29, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵)
52		fzoval 12471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
53	38, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
54	53	feq2d 6031	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵 ↔ 𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
55	51, 54	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
56	15, 16, 17, 49, 55	gsumval2 17280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)))
57		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑋) ∈ ℕ → ((#‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
58	23, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
59	58, 27	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑋) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
60		wrdf 13310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝐵 → 𝑋:(0..^(#‘𝑋))⟶𝐵)
61	30, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0..^(#‘𝑋))⟶𝐵)
62		fzoval 12471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑋) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑋)) = (0...((#‘𝑋) − 1)))
63	39, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(#‘𝑋)) = (0...((#‘𝑋) − 1)))
64	63	feq2d 6031	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋:(0..^(#‘𝑋))⟶𝐵 ↔ 𝑋:(0...((#‘𝑋) − 1))⟶𝐵))
65	61, 64	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0...((#‘𝑋) − 1))⟶𝐵)
66	15, 16, 17, 59, 65	gsumval2 17280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑋) = (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1)))
67	56, 66	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1))))
68	15, 16	mndcl 17301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
69	68	3expb 1266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
70	17, 69	sylan 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
71	15, 16	mndass 17302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
72	17, 71	sylan 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
73		uzid 11702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑊)))
74	38, 73	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑊)))
75		uzaddcl 11744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) + ((#‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑊)))
76	74, 58, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) + ((#‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑊)))
77	20	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
78	23	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑋) ∈ ℂ)
79		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 1 ∈ ℂ)
80	77, 78, 79	addsubassd 10412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) = ((#‘𝑊) + ((#‘𝑋) − 1)))
81		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
82		npcan 10290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (#‘𝑊))
83	77, 81, 82	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (#‘𝑊))
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) + 1)) = (ℤ≥‘(#‘𝑊)))
85	76, 80, 84	3eltr4d 2716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) + 1)))
86	45	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
87	70, 72, 85, 49, 86	seqsplit 12834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))))
88		simpll2 1101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
89		simpll3 1102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
90	53	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))))
91	90	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
92		ccatval1 13361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
93	88, 89, 91, 92	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
94	49, 93	seqfveq 12825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((#‘𝑊) − 1)) = (seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)))
95	77	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0 + (#‘𝑊)) = (#‘𝑊))
96	83, 95	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (0 + (#‘𝑊)))
97	96	seqeq1d 12807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋)) = seq(0 + (#‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋)))
98	77, 78	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) = ((#‘𝑋) + (#‘𝑊)))
99	98	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) = (((#‘𝑋) + (#‘𝑊)) − 1))
100	78, 77, 79	addsubd 10413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑋) + (#‘𝑊)) − 1) = (((#‘𝑋) − 1) + (#‘𝑊)))
101	99, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) = (((#‘𝑋) − 1) + (#‘𝑊)))
102	97, 101	fveq12d 6197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)) = (seq(0 + (#‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑋) − 1) + (#‘𝑊))))
103		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
104		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
105	63	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))))
106	105	biimpar 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑋)))
107		ccatval3 13363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑋))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (#‘𝑊))) = (𝑋‘𝑥))
108	103, 104, 106, 107	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (#‘𝑊))) = (𝑋‘𝑥))
109	108	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → (𝑋‘𝑥) = ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (#‘𝑊))))
110	59, 38, 109	seqshft2 12827	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1)) = (seq(0 + (#‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑋) − 1) + (#‘𝑊))))
111	102, 110	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)) = (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1)))
112	94, 111	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))) = ((seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1))))
113	87, 112	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1))))
114	67, 113	eqtr4d 2659	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
115	46, 114	eqtr4d 2659	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
116	115	anassrs 680	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
117		simpl2 1065	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
118		ccatrid 13370	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
119	117, 118	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
120	119	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = (𝐺 Σg 𝑊))
121		simpl1 1064	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
122	15	gsumwcl 17377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
123	122	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
124	123	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
125	15, 16, 4	mndrid 17312	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
126	121, 124, 125	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
127	120, 126	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)))
128	14, 116, 127	pm2.61ne 2879	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
129		ccatlid 13369	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
130	129	3ad2ant3 1084	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
131	130	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
132		simp1 1061	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
133	15	gsumwcl 17377	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵)
134	133	3adant2 1080	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵)
135	15, 16, 4	mndlid 17311	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
136	132, 134, 135	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
137	131, 136	eqtr4d 2659	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
138	8, 128, 137	pm2.61ne 2879	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  seqcseq 12801  #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  Mndcmnd 17294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336

This theorem is referenced by:  gsumws2  17379  gsumccatsn  17380  gsumspl  17381  gsumwspan  17383  frmdgsum  17399  frmdup1  17401  gsumwrev  17796  psgnunilem5  17914  psgnuni  17919  frgpuplem  18185  frgpup1  18188  psgnghm  19926  mrsubccat  31415  gsumws3  38499  gsumws4  38500