Theorem hashpw 13223

Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashpw	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4161	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2	1	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝒫 𝑥) = (#‘𝒫 𝐴))
3		fveq2 6191	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝑥) = (#‘𝐴))
4	3	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2↑(#‘𝑥)) = (2↑(#‘𝐴)))
5	2, 4	eqeq12d 2637	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((#‘𝒫 𝑥) = (2↑(#‘𝑥)) ↔ (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴))))
6		vex 3203	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	pw2en 8067	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)
8		pwfi 8261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	biimpi 206	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		df2o2 7574	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 = {∅, {∅}}
11		prfi 8235	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2697	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 ∈ Fin
13		mapfi 8262	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin)
14	12, 13	mpan 706	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin)
15		hashen 13135	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin) → ((#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
16	9, 14, 15	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
17	7, 16	mpbiri 248	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
18		hashmap 13222	. . . . 5 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)))
19	12, 18	mpan 706	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)))
20		hash2 13193	. . . . 5 ⊢ (#‘2𝑜) = 2
21	20	oveq1i 6660	. . . 4 ⊢ ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)) = (2↑(#‘𝑥))
22	19, 21	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = (2↑(#‘𝑥)))
23	17, 22	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝑥) = (2↑(#‘𝑥)))
24	5, 23	vtoclga 3272	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  {cpr 4179   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  2_𝑜c2o 7554   ↑_𝑚 cmap 7857   ≈ cen 7952  Fincfn 7955  2c2 11070  ↑cexp 12860  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  ackbijnn  14560