Theorem hashun3 13173

Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashun3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Proof of Theorem hashun3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 8192	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
2	1	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
3		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4		inss1 3833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
5		ssfi 8180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
6	3, 4, 5	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
7		sslin 3839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴))
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴)
9		incom 3805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴))
10		disjdif 4040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
11	9, 10	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
12		sseq0 3975	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) ∧ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
13	8, 11, 12	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
15		hashun 13171	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅) → (#‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((#‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (#‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
16	2, 6, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((#‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (#‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
17		incom 3805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
18	17	uneq2i 3764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴))
19		uncom 3757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴)) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))
20		inundif 4046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵
21	18, 19, 20	3eqtri 2648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐵
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐵)
23	22	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘((𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = (#‘𝐵))
24	16, 23	eqtr3d 2658	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (#‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (#‘𝐵))
25		hashcl 13147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
26	25	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
27	26	nn0cnd 11353	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
28		hashcl 13147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin → (#‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℕ0)
29	6, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 11353	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
31		hashcl 13147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin → (#‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
32	2, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
33	32	nn0cnd 11353	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℂ)
34	27, 30, 33	subadd2d 10411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((#‘𝐵) − (#‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (#‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ ((#‘(𝐵 ∖ 𝐴)) + (#‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (#‘𝐵)))
35	24, 34	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐵) − (#‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (#‘(𝐵 ∖ 𝐴)))
36	35	oveq2d 6666	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) + ((#‘𝐵) − (#‘(𝐴 ∩ 𝐵)))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
37		hashcl 13147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
38	37	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
39	38	nn0cnd 11353	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
40	39, 27, 30	addsubassd 10412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = ((#‘𝐴) + ((#‘𝐵) − (#‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
41		undif2 4044	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
42	41	fveq2i 6194	. . 3 ⊢ (#‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (#‘(𝐴 ∪ 𝐵))
43	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
44		hashun 13171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅) → (#‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
45	3, 2, 43, 44	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
46	42, 45	syl5eqr 2670	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
47	36, 40, 46	3eqtr4rd 2667	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  incexclem  14568