Theorem hashun3 13173

Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashun3	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( A u. B ) ) = ( ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) - ( # ` ( A i^i B ) ) ) )

Proof of Theorem hashun3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 8192	. . . . . . 7 |- ( B e. Fin -> ( B \ A ) e. Fin )
2	1	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( B \ A ) e. Fin )
3		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> A e. Fin )
4		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( A i^i B ) C_ A
5		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
6	3, 4, 5	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
7		sslin 3839	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i B ) C_ A -> ( ( B \ A ) i^i ( A i^i B ) ) C_ ( ( B \ A ) i^i A ) )
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( B \ A ) i^i ( A i^i B ) ) C_ ( ( B \ A ) i^i A )
9		incom 3805	. . . . . . . . 9 |- ( ( B \ A ) i^i A ) = ( A i^i ( B \ A ) )
10		disjdif 4040	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i ( B \ A ) ) = (/)
11	9, 10	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( ( B \ A ) i^i A ) = (/)
12		sseq0 3975	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B \ A ) i^i ( A i^i B ) ) C_ ( ( B \ A ) i^i A ) /\ ( ( B \ A ) i^i A ) = (/) ) -> ( ( B \ A ) i^i ( A i^i B ) ) = (/) )
13	8, 11, 12	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( B \ A ) i^i ( A i^i B ) ) = (/)
14	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( B \ A ) i^i ( A i^i B ) ) = (/) )
15		hashun 13171	. . . . . 6 |- ( ( ( B \ A ) e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( ( B \ A ) i^i ( A i^i B ) ) = (/) ) -> ( # ` ( ( B \ A ) u. ( A i^i B ) ) ) = ( ( # ` ( B \ A ) ) + ( # ` ( A i^i B ) ) ) )
16	2, 6, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( ( B \ A ) u. ( A i^i B ) ) ) = ( ( # ` ( B \ A ) ) + ( # ` ( A i^i B ) ) ) )
17		incom 3805	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i B ) = ( B i^i A )
18	17	uneq2i 3764	. . . . . . . 8 |- ( ( B \ A ) u. ( A i^i B ) ) = ( ( B \ A ) u. ( B i^i A ) )
19		uncom 3757	. . . . . . . 8 |- ( ( B \ A ) u. ( B i^i A ) ) = ( ( B i^i A ) u. ( B \ A ) )
20		inundif 4046	. . . . . . . 8 |- ( ( B i^i A ) u. ( B \ A ) ) = B
21	18, 19, 20	3eqtri 2648	. . . . . . 7 |- ( ( B \ A ) u. ( A i^i B ) ) = B
22	21	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( B \ A ) u. ( A i^i B ) ) = B )
23	22	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( ( B \ A ) u. ( A i^i B ) ) ) = ( # ` B ) )
24	16, 23	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( # ` ( B \ A ) ) + ( # ` ( A i^i B ) ) ) = ( # ` B ) )
25		hashcl 13147	. . . . . . 7 |- ( B e. Fin -> ( # ` B ) e. NN0 )
26	25	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` B ) e. NN0 )
27	26	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` B ) e. CC )
28		hashcl 13147	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i B ) e. Fin -> ( # ` ( A i^i B ) ) e. NN0 )
29	6, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( A i^i B ) ) e. NN0 )
30	29	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( A i^i B ) ) e. CC )
31		hashcl 13147	. . . . . . 7 |- ( ( B \ A ) e. Fin -> ( # ` ( B \ A ) ) e. NN0 )
32	2, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( B \ A ) ) e. NN0 )
33	32	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( B \ A ) ) e. CC )
34	27, 30, 33	subadd2d 10411	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( ( # ` B ) - ( # ` ( A i^i B ) ) ) = ( # ` ( B \ A ) ) <-> ( ( # ` ( B \ A ) ) + ( # ` ( A i^i B ) ) ) = ( # ` B ) ) )
35	24, 34	mpbird 247	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( # ` B ) - ( # ` ( A i^i B ) ) ) = ( # ` ( B \ A ) ) )
36	35	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( # ` A ) + ( ( # ` B ) - ( # ` ( A i^i B ) ) ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` ( B \ A ) ) ) )
37		hashcl 13147	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
38	37	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
39	38	nn0cnd 11353	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` A ) e. CC )
40	39, 27, 30	addsubassd 10412	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) - ( # ` ( A i^i B ) ) ) = ( ( # ` A ) + ( ( # ` B ) - ( # ` ( A i^i B ) ) ) ) )
41		undif2 4044	. . . 4 |- ( A u. ( B \ A ) ) = ( A u. B )
42	41	fveq2i 6194	. . 3 |- ( # ` ( A u. ( B \ A ) ) ) = ( # ` ( A u. B ) )
43	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A i^i ( B \ A ) ) = (/) )
44		hashun 13171	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B \ A ) e. Fin /\ ( A i^i ( B \ A ) ) = (/) ) -> ( # ` ( A u. ( B \ A ) ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` ( B \ A ) ) ) )
45	3, 2, 43, 44	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( A u. ( B \ A ) ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` ( B \ A ) ) ) )
46	42, 45	syl5eqr 2670	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( A u. B ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` ( B \ A ) ) ) )
47	36, 40, 46	3eqtr4rd 2667	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( A u. B ) ) = ( ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) - ( # ` ( A i^i B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  incexclem  14568