Theorem hashge2el2difr 13263

Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2difr	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (#‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2difr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashv01gt1 13133	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 ∨ (#‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐷)))
2		hasheq0 13154	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = ∅))
3		rexeq 3139	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦))
4		rex0 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦
5		pm2.21 120	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
6	4, 5	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
7	3, 6	sylbid 230	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
8	2, 7	syl6bi 243	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
9	8	com12 32	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐷) = 0 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
10		hash1snb 13207	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐷) = 1 ↔ ∃𝑧 𝐷 = {𝑧}))
11		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → 𝐷 = {𝑧})
12		rexeq 3139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
13	11, 12	rexeqbidv 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
14		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
15		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑦))
16	15	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦))
17	14, 16	rexsn 4223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦)
18		neeq2 2857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
19	14, 18	rexsn 4223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
20	17, 19	bitri 264	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
21	13, 20	syl6bb 276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
22		equid 1939	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 = 𝑧
23		eqneqall 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
24	22, 23	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
25	21, 24	sylbid 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
26	25	exlimiv 1858	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
27	10, 26	syl6bi 243	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐷) = 1 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
28	27	com12 32	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐷) = 1 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
29		hashnn0pnf 13130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐷) = +∞))
30		1z 11407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
31		nn0z 11400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (#‘𝐷) ∈ ℤ)
32		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
33	32	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
34	30, 31, 33	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
35		df-2 11079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
36	35	breq1i 4660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝐷))
37	34, 36	syl6ibr 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
38		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
39	38	rexri 10097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
40		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
41	39, 40	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ +∞)
42		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐷) = +∞ → (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ 2 ≤ +∞))
43	41, 42	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ (#‘𝐷))
44	43	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐷) = +∞ → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
45	37, 44	jaoi 394	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐷) = +∞) → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
46	29, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
47	46	impcom 446	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (#‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 2 ≤ (#‘𝐷))
48	47	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((1 < (#‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
49	48	ex 450	. . . 4 ⊢ (1 < (#‘𝐷) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
50	9, 28, 49	3jaoi 1391	. . 3 ⊢ (((#‘𝐷) = 0 ∨ (#‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐷)) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
51	1, 50	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
52	51	imp 445	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (#‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13264  hashdmpropge2  13265  structgrssvtxlemOLD  25915