Theorem tgldimor 25397

Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgldimor.p	⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
tgldimor.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tgldimor	⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgldimor.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
2		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝐹) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
4		hashv01gt1 13133	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃))
6		3orass 1040	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)) ↔ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃))))
7	5, 6	mpbi 220	. . 3 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)))
8		1p1e2 11134	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
9		1z 11407	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		nn0z 11400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
11		zltp1le 11427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
12	9, 10, 11	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
13	12	biimpac 503	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (#‘𝑃) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃))
14	8, 13	syl5eqbrr 4689	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (#‘𝑃) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (#‘𝑃))
15		2re 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	rexri 10097	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
17		pnfge 11964	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ +∞
19		breq2 4657	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
20	18, 19	mpbiri 248	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (#‘𝑃))
21	20	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (#‘𝑃) ∧ (#‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (#‘𝑃))
22		hashnn0pnf 13130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑃) = +∞))
23	3, 22	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (1 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑃) = +∞))
24	14, 21, 23	mpjaodan 827	. . . . 5 ⊢ (1 < (#‘𝑃) → 2 ≤ (#‘𝑃))
25	24	orim2i 540	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))
26	25	orim2i 540	. . 3 ⊢ (((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃))) → ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃))))
27	7, 26	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃))))
28		tgldimor.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
29		ne0i 3921	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → 𝑃 ≠ ∅)
30		hasheq0 13154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
31	3, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
32	31	biimpi 206	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
33	32	necon3ai 2819	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (#‘𝑃) = 0)
34	28, 29, 33	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (#‘𝑃) = 0)
35		biorf 420	. . 3 ⊢ (¬ (#‘𝑃) = 0 → (((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)) ↔ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)) ↔ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))))
37	27, 36	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  tgifscgr  25403  tgcgrxfr  25413  tgbtwnconn3  25472  legtrid  25486  hpgerlem  25657