Theorem hdmapgln2 37204

Description: g-linear property that will be used for inner product. (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapgln2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapgln2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapgln2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapgln2.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmapgln2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapgln2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapgln2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapgln2.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
hdmapgln2.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapgln2.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapgln2.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapgln2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapgln2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapgln2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmapgln2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hdmapgln2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmapgln2	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐴 · 𝑌) + 𝑍))‘𝑋) = ((((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))

Proof of Theorem hdmapgln2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapgln2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapgln2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapgln2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmapgln2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
5		hdmapgln2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hdmapgln2.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
7		hdmapgln2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmapgln2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		hdmapgln2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 8	dvhlmod 36399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		hdmapgln2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		hdmapgln2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		hdmapgln2.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14		hdmapgln2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15	3, 5, 13, 14	lmodvscl 18880	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
16	10, 11, 12, 15	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
17		hdmapgln2.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17	hdmaplna2 37202	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐴 · 𝑌) + 𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))
19		hdmapgln2.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
20		hdmapgln2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
21	1, 2, 3, 13, 5, 14, 19, 7, 20, 8, 9, 12, 11	hdmapglnm2 37203	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)))
22	21	oveq1d 6665	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)) = ((((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))
23	18, 22	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐴 · 𝑌) + 𝑍))‘𝑋) = ((((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  LModclmod 18863  HLchlt 34637  LHypclh 35270  DVecHcdvh 36367  HDMapchdma 37082  HGMapchg 37175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684  df-lcdual 36876  df-mapd 36914  df-hvmap 37046  df-hdmap1 37083  df-hdmap 37084  df-hgmap 37176

This theorem is referenced by:  hdmapglem7b  37220