Theorem hhcmpl 28057

Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 28059 from ZFC Hilbert space theory. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhlm.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhlm.2	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hhlm.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hhcmpl.c	⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)

Assertion

Ref	Expression
hhcmpl	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hhcmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhcmpl.c	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
2	1	anim1i 592	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
3		elin 3796	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
4		r19.41v 3089	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
5	2, 3, 4	3imtr4i 281	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
6		hhlm.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
7		hhlm.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
8	6, 7	hhcau 28055	. . 3 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
9	8	eleq2i 2693	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ 𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
10		hhlm.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11	6, 7, 10	hhlm 28056	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
12	11	breqi 4659	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))𝑥)
13		vex 3203	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	13	brres 5402	. . . 4 ⊢ (𝐹((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))𝑥 ↔ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
15	12, 14	bitri 264	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
16	15	rexbii 3041	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
17	5, 9, 16	3imtr4i 281	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913   ∩ cin 3573  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  ℕcn 11020  MetOpencmopn 19736  ⇝_𝑡clm 21030  Caucca 23051  IndMetcims 27446   ℋchil 27776   +_ℎ cva 27777   ·_ℎ csm 27778  norm_ℎcno 27780  Cauchyccau 27783   ⇝_𝑣 chli 27784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-cau 23054  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830

This theorem is referenced by:  hilcompl  28058