Theorem hhph 28035

Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhph	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem hhph

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2	1	hhnv 28022	. 2 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
3		normpar 28012	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
4		hvsubval 27873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
5	4	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) = (normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))))
6	5	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) = ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2))
7	6	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)))
8		hvaddcl 27869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
9		normcl 27982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
12	11	sqcld 13006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
13		hvsubcl 27874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
14		normcl 27982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 13006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
18	12, 17	addcomd 10238	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)))
19	7, 18	eqtr3d 2658	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)))
20		normcl 27982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
21	20	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
22	21	sqcld 13006	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
23		normcl 27982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
24	23	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
25	24	sqcld 13006	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ)
26		2cn 11091	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		adddi 10025	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
28	26, 27	mp3an1 1411	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
29	22, 25, 28	syl2an 494	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
30	3, 19, 29	3eqtr4d 2666	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))
31	30	rgen2a 2977	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2)))
32		hilablo 28017	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
33	32	elexi 3213	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ V
34		hvmulex 27868	. . 3 ⊢ ·ℎ ∈ V
35		normf 27980	. . . 4 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
36		ax-hilex 27856	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
37		fex 6490	. . . 4 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
38	35, 36, 37	mp2an 708	. . 3 ⊢ normℎ ∈ V
39		hhnv.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
40	39	eleq1i 2692	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD)
41		ablogrpo 27401	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
42	32, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
43		ax-hfvadd 27857	. . . . . . 7 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
44	43	fdmi 6052	. . . . . 6 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
45	42, 44	grporn 27375	. . . . 5 ⊢ ℋ = ran +ℎ
46	45	isphg 27672	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ∈ V ∧ ·ℎ ∈ V ∧ normℎ ∈ V) → (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))))
47	40, 46	syl5bb 272	. . 3 ⊢ (( +ℎ ∈ V ∧ ·ℎ ∈ V ∧ normℎ ∈ V) → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))))
48	33, 34, 38, 47	mp3an 1424	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2)))))
49	2, 31, 48	mpbir2an 955	1 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200  ⟨cop 4183   × cxp 5112  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  -cneg 10267  2c2 11070  ↑cexp 12860  GrpOpcgr 27343  AbelOpcablo 27398  NrmCVeccnv 27439  CPreHil_OLDccphlo 27667   ℋchil 27776   +_ℎ cva 27777   ·_ℎ csm 27778  norm_ℎcno 27780   −_ℎ cmv 27782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-ph 27668  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828

This theorem is referenced by:  bcsiHIL  28037  hhhl  28061  hhssph  28131  pjhthlem2  28251