Theorem incsequz 33544

Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
incsequz	⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz

Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 1 → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘1))
2	1	eleq2d 2687	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1)))
3	2	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 1 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1)))
4	3	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 1 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))))
5		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘𝑞))
6	5	eleq2d 2687	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞)))
7	6	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞)))
8	7	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞))))
9		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))
10	9	eleq2d 2687	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
11	10	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
12	11	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))))
13		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (ℤ≥‘𝑝) = (ℤ≥‘𝐴))
14	13	eleq2d 2687	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
15	14	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
16	15	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑝)) ↔ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))))
17		1nn 11031	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
18	17	ne0ii 3923	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≠ ∅
19		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ)
20		elnnuz 11724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
21	19, 20	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
22	21	ralrimiva 2966	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
23		r19.2z 4060	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
24	18, 22, 23	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
25	24	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘1))
26		peano2nn 11032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
28		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℝ)
30	19	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
31	30	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
32	31	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
33		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
34	29, 32, 33	leadd1d 10621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ (𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1)))
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑛))
36		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
37	36	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
38	35, 37	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
39	38	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
40	39	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
41		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
42	26, 41	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
43		nnltp1le 11433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
44	19, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
45	44	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
46	45	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
47	40, 46	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
48	47	anass1rs 849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
49	48	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
50		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∈ ℝ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
51	28, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 + 1) ∈ ℝ)
53		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℕ)
54	19, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℕ)
55	54	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
56	55	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
57	41	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
58	26, 57	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
59	58	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
60		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
61	52, 56, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
62	61	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) ∧ ((𝐹‘𝑛) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
63	49, 62	mpan2d 710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑞 + 1) ≤ ((𝐹‘𝑛) + 1) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
64	34, 63	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛) → (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
65		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℤ)
66	19	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ)
67		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
68	65, 66, 67	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
69	68	adantrlr 759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
70	69	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) ↔ 𝑞 ≤ (𝐹‘𝑛)))
71	65	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℤ)
72	41	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
73	26, 72	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
74		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
75	71, 73, 74	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
76	75	adantrlr 759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
77	76	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝑞 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
78	64, 70, 77	3imtr4d 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
79		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
80	79	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
81	80	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))
82	27, 78, 81	syl6an 568	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
83	82	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
84		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
85	84	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
86	85	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))
87	83, 86	syl6ib 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1))))
88	87	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))))
89	88	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝑞)) → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝑞 + 1)))))
90	4, 8, 12, 16, 25, 89	nnind 11038	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
91	90	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
92	91	3impia 1261	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  incsequz2  33545