Theorem incsequz 33544

Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
incsequz	|- ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) /\ A e. NN ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) )

Distinct variable groups:   m, F, n   A, m, n

Proof of Theorem incsequz

Dummy variables k p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( p = 1 -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` 1 ) )
2	1	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( p = 1 -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
3	2	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( p = 1 -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
4	3	imbi2d 330	. . . 4 |- ( p = 1 -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) ) <-> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) ) )
5		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( p = q -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` q ) )
6	5	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( p = q -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) ) )
7	6	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( p = q -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) ) )
8	7	imbi2d 330	. . . 4 |- ( p = q -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) ) <-> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) ) ) )
9		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) )
10	9	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
11	10	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
12	11	imbi2d 330	. . . 4 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) ) <-> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( p = A -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` A ) )
14	13	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( p = A -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
15	14	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( p = A -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . . 4 |- ( p = A -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) ) <-> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) ) )
17		1nn 11031	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
18	17	ne0ii 3923	. . . . . 6 |- NN =/= (/)
19		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. NN )
20		elnnuz 11724	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` n ) e. NN <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
21	19, 20	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
22	21	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( F : NN --> NN -> A. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23		r19.2z 4060	. . . . . 6 |- ( ( NN =/= (/) /\ A. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24	18, 22, 23	sylancr 695	. . . . 5 |- ( F : NN --> NN -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25	24	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26		peano2nn 11032	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. NN )
28		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. NN -> q e. RR )
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> q e. RR )
30	19	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
31	30	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
32	31	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
33		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> 1 e. RR )
34	29, 32, 33	leadd1d 10621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( q <_ ( F ` n ) <-> ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) ) )
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
36		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = n -> ( m + 1 ) = ( n + 1 ) )
37	36	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = n -> ( F ` ( m + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
38	35, 37	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) <-> ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
39	38	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> ( A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) -> ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
40	39	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> ( n e. NN /\ ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
41		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. NN )
42	26, 41	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. NN )
43		nnltp1le 11433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` n ) e. NN /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
44	19, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
45	44	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) /\ ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
46	45	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n e. NN /\ ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
47	40, 46	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n e. NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
48	47	anass1rs 849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
49	48	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
50		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q e. RR -> ( q + 1 ) e. RR )
51	28, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q e. NN -> ( q + 1 ) e. RR )
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ n e. NN ) -> ( q + 1 ) e. RR )
53		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) e. NN -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. NN )
54	19, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. NN )
55	54	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
56	55	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
57	41	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
58	26, 57	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
59	58	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ n e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
60		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q + 1 ) e. RR /\ ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) /\ ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
61	52, 56, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( q e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) /\ ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
62	61	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) /\ ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
63	49, 62	mpan2d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
64	34, 63	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( q <_ ( F ` n ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
65		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. NN -> q e. ZZ )
66	19	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ZZ )
67		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ZZ /\ ( F ` n ) e. ZZ ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) <-> q <_ ( F ` n ) ) )
68	65, 66, 67	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) <-> q <_ ( F ` n ) ) )
69	68	adantrlr 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. NN /\ ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) <-> q <_ ( F ` n ) ) )
70	69	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) <-> q <_ ( F ` n ) ) )
71	65	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. NN -> ( q + 1 ) e. ZZ )
72	41	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. ZZ )
73	26, 72	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. ZZ )
74		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( q + 1 ) e. ZZ /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
75	71, 73, 74	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
76	75	adantrlr 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. NN /\ ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
77	76	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
78	64, 70, 77	3imtr4d 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
79		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
80	79	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
81	80	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) -> E. k e. NN ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) )
82	27, 78, 81	syl6an 568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> E. k e. NN ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
83	82	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> E. k e. NN ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
84		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
85	84	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
86	85	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. k e. NN ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) )
87	83, 86	syl6ib 241	. . . . . 6 |- ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
88	87	ex 450	. . . . 5 |- ( q e. NN -> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) ) )
89	88	a2d 29	. . . 4 |- ( q e. NN -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) ) -> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) ) )
90	4, 8, 12, 16, 25, 89	nnind 11038	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
91	90	com12 32	. 2 |- ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> ( A e. NN -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
92	91	3impia 1261	1 |- ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) /\ A e. NN ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  incsequz2  33545