Theorem itgless 23583

Description: Expand the integral of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgless.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
itgless.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
itgless.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgless.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
itgless.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgless	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgless.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		itgss2 23579	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
4		itgless.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
5		iblmbf 23534	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
7		itgless.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	6, 7	mbfdm2 23405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
9	1	sselda 3603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10	9, 7	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11		0re 10040	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		ifcl 4130	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	sylancl 694	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
14		eldifn 3733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
15	14	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
16	15	iffalsed 4097	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
17		iftrue 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
18	17	mpteq2ia 4740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19		itgless.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
20	1, 19, 7, 4	iblss 23571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
21	18, 20	syl5eqel 2705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
22	1, 8, 13, 16, 21	iblss2 23572	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
23	7, 11, 12	sylancl 694	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
24	7	leidd 10594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐶)
25		itgless.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
26		breq1 4656	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) → (𝐶 ≤ 𝐶 ↔ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶))
27		breq1 4656	. . . . 5 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) → (0 ≤ 𝐶 ↔ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶))
28	26, 27	ifboth 4124	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≤ 𝐶 ∧ 0 ≤ 𝐶) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶)
29	24, 25, 28	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶)
30	22, 4, 23, 7, 29	itgle 23576	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)
31	3, 30	eqbrtrd 4675	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ifcif 4086   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ℝcr 9935  0cc0 9936   ≤ cle 10075  volcvol 23232  MblFncmbf 23383  𝐿¹cibl 23386  ∫citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by: (None)