Theorem kercvrlsm 37653

Description: The domain of a linear function is the subspace sum of the kernel and any subspace which covers the range. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kercvrlsm.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
kercvrlsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑆)
kercvrlsm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
kercvrlsm.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
kercvrlsm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
kercvrlsm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
kercvrlsm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
kercvrlsm.cv	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
kercvrlsm	⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) = 𝐵)

Proof of Theorem kercvrlsm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kercvrlsm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2		lmhmlmod1 19033	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
4		kercvrlsm.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
5		kercvrlsm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
6		kercvrlsm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
7	4, 5, 6	lmhmkerlss 19051	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑈)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
9		kercvrlsm.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
10		kercvrlsm.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑆)
11	6, 10	lsmcl 19083	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈)
12	3, 8, 9, 11	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈)
13		kercvrlsm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
14	13, 6	lssss 18937	. . 3 ⊢ ((𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ⊆ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ⊆ 𝐵)
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
17	13, 16	lmhmf 19034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
19		ffn 6045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) → 𝐹 Fn 𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
21		fnfvelrn 6356	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ ran 𝐹)
22	20, 21	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ ran 𝐹)
23		kercvrlsm.cv	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)
25	22, 24	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷))
26	20	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐵)
27	13, 6	lssss 18937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑈 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
28	9, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
30		fvelimab 6253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
31	26, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
32	25, 31	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎))
33		lmodgrp 18870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
34	3, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
36		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
37	28	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐵)
38	37	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
41	13, 39, 40	grpnpcan 17507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
42	35, 36, 38, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
44	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑆 ∈ LMod)
45	13, 6	lssss 18937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑈 → 𝐾 ⊆ 𝐵)
46	8, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐵)
47	46	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝐾 ⊆ 𝐵)
48	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
49		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
50		lmghm 19031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
51	1, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
53	13, 5, 4, 40	ghmeqker 17687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
54	52, 36, 38, 53	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
55	49, 54	syl5bb 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
56	55	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾)
57		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
58	13, 39, 10	lsmelvalix 18056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
59	44, 47, 48, 56, 57, 58	syl32anc 1334	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
60	43, 59	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
61	60	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
62	61	anassrs 680	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
63	62	rexlimdva 3031	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
64	32, 63	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
65	64	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
66	65	ssrdv 3609	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (𝐾 ⊕ 𝐷))
67	15, 66	eqssd 3620	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ^◡ccnv 5113  ran crn 5115   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  -_gcsg 17424   GrpHom cghm 17657  LSSumclsm 18049  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932   LMHom clmhm 19019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022

This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  37656