Theorem lagsubg2 17655

Description: Lagrange's theorem for finite groups. Call the "order" of a group the cardinal number of the basic set of the group, and "index of a subgroup" the cardinal number of the set of left (or right, this is the same) cosets of this subgroup. Then the order of the group is the (cardinal) product of the order of any of its subgroups by the index of this subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lagsubg.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
lagsubg.2	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
lagsubg.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lagsubg.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
lagsubg2	⊢ (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘(𝑋 / ∼ )) · (#‘𝑌)))

Proof of Theorem lagsubg2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lagsubg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lagsubg.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		lagsubg.2	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
4	2, 3	eqger 17644	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝑋)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑋)
6		lagsubg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7	5, 6	qshash 14559	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑋) = Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(#‘𝑥))
8	2, 3	eqgen 17647	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑌 ≈ 𝑥)
9	1, 8	sylan 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑌 ≈ 𝑥)
10	2	subgss 17595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
12		ssfi 8180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑌 ∈ Fin)
13	6, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑌 ∈ Fin)
15	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑋 ∈ Fin)
16	5	qsss 7808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝑋)
17	16	sselda 3603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
18	17	elpwid 4170	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
19		ssfi 8180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑥 ∈ Fin)
20	15, 18, 19	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑥 ∈ Fin)
21		hashen 13135	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ((#‘𝑌) = (#‘𝑥) ↔ 𝑌 ≈ 𝑥))
22	14, 20, 21	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → ((#‘𝑌) = (#‘𝑥) ↔ 𝑌 ≈ 𝑥))
23	9, 22	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → (#‘𝑌) = (#‘𝑥))
24	23	sumeq2dv 14433	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(#‘𝑌) = Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(#‘𝑥))
25		pwfi 8261	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
26	6, 25	sylib 208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
27		ssfi 8180	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / ∼ ) ∈ Fin)
28	26, 16, 27	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / ∼ ) ∈ Fin)
29		hashcl 13147	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Fin → (#‘𝑌) ∈ ℕ0)
30	13, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑌) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 11353	. . 3 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑌) ∈ ℂ)
32		fsumconst 14522	. . 3 ⊢ (((𝑋 / ∼ ) ∈ Fin ∧ (#‘𝑌) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(#‘𝑌) = ((#‘(𝑋 / ∼ )) · (#‘𝑌)))
33	28, 31, 32	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(#‘𝑌) = ((#‘(𝑋 / ∼ )) · (#‘𝑌)))
34	7, 24, 33	3eqtr2d 2662	1 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘(𝑋 / ∼ )) · (#‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   Er wer 7739   / cqs 7741   ≈ cen 7952  Fincfn 7955  ℂcc 9934   · cmul 9941  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117  Σcsu 14416  Basecbs 15857  SubGrpcsubg 17588   ~_QG cqg 17590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-eqg 17593

This theorem is referenced by:  lagsubg  17656  orbsta2  17747  sylow2blem3  18037  sylow3lem3  18044  sylow3lem4  18045