Theorem sylow3lem4 18045

Description: Lemma for sylow3 18048, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of 𝐺 reduced by the size of a Sylow subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow3lem1.d	⊢ − = (-g‘𝐺)
sylow3lem1.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
sylow3lem2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem4	⊢ (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((#‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧, −   𝑢, ⊕ ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		sylow3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		sylow3.xf	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		sylow3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		sylow3lem1.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		sylow3lem1.d	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7		sylow3lem1.m	. . 3 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
8		sylow3lem2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9		sylow3lem2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾}
10		sylow3lem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sylow3lem3 18044	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
12		slwsubg 18025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑁) = (𝐺 ↾s 𝑁)
15	10, 1, 5, 14	nmznsg 17638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
16		nsgsubg 17626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
19	10, 1, 5	nmzsubg 17635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	14	subgbas 17598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
23	1	subgss 17595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝑋)
25		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → 𝑁 ∈ Fin)
26	3, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
27	22, 26	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∈ Fin)
28		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))
29	28	lagsubg 17656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∧ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∈ Fin) → (#‘𝐾) ∥ (#‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
30	18, 27, 29	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
31	22	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑁) = (#‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
32	30, 31	breqtrrd 4681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝑁))
33		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
34	33	subg0cl 17602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐾)
35	13, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐾)
36		ne0i 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐾 → 𝐾 ≠ ∅)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
38	1	subgss 17595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ⊆ 𝑋)
39	13, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝑋)
40		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ Fin)
41	3, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
42		hashnncl 13157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → ((#‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
44	37, 43	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ)
45	44	nnzd 11481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
46		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (#‘𝑁) ∈ ℕ0)
47	26, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑁) ∈ ℕ0)
48	47	nn0zd 11480	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑁) ∈ ℤ)
49		pwfi 8261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
50	3, 49	sylib 208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
52	1, 51	eqger 17644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
53	20, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
54	53	qsss 7808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
55		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
56	50, 54, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
57		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
59	58	nn0zd 11480	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ)
60		dvdscmul 15008	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ) → ((#‘𝐾) ∥ (#‘𝑁) → ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁))))
61	45, 48, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) ∥ (#‘𝑁) → ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁))))
62	32, 61	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
63		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
64	3, 63	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
65	64	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℂ)
66	44	nncnd 11036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℂ)
67	44	nnne0d 11065	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ≠ 0)
68	65, 66, 67	divcan1d 10802	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)) = (#‘𝑋))
69	1, 51, 20, 3	lagsubg2 17655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
70	68, 69	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)) = ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
71	62, 70	breqtrrd 4681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)))
72	1	lagsubg 17656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝑋))
73	13, 3, 72	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝑋))
74	64	nn0zd 11480	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℤ)
75		dvdsval2 14986	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ≠ 0 ∧ (#‘𝑋) ∈ ℤ) → ((#‘𝐾) ∥ (#‘𝑋) ↔ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) ∈ ℤ))
76	45, 67, 74, 75	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) ∥ (#‘𝑋) ↔ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) ∈ ℤ))
77	73, 76	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) ∈ ℤ)
78		dvdsmulcr 15011	. . . . 5 ⊢ (((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ≠ 0)) → (((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)) ↔ (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾))))
79	59, 77, 45, 67, 78	syl112anc 1330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)) ↔ (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾))))
80	71, 79	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)))
81	1, 3, 8	slwhash 18039	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋))))
82	81	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) = ((#‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋)))))
83	80, 82	breqtrd 4679	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((#‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋)))))
84	11, 83	eqbrtrd 4675	1 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((#‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {crab 2916   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ran crn 5115  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652   Er wer 7739   / cqs 7741  Fincfn 7955  0cc0 9936   · cmul 9941   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ↑cexp 12860  #chash 13117   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385   pCnt cpc 15541  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  -_gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588  NrmSGrpcnsg 17589   ~_QG cqg 17590   pSyl cslw 17947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-ga 17723  df-od 17948  df-pgp 17950  df-slw 17951

This theorem is referenced by:  sylow3  18048