Theorem leaddsub 10504

Description: 'Less than or equal to' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leaddsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 − 𝐵)))

Proof of Theorem leaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubadd 10498	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
2	1	3com13 1270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
3		resubcl 10345	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltnle 10117	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
5	3, 4	stoic3 1701	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
6	5	3com13 1270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
7		readdcl 10019	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8		ltnle 10117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
9	7, 8	sylan2 491	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
10	9	3impb 1260	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
11	10	3coml 1272	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
12	2, 6, 11	3bitr3rd 299	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
13	12	con4bid 307	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 − 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  leaddsub2  10505  lesub  10507  lesub2  10523  subge0  10541  lesub3d  10645  div4p1lem1div2  11287  eluzp1m1  11711  eluzsubi  11715  fzen  12358  fznatpl1  12395  expmulnbnd  12996  hashdvds  15480  sylow1lem5  18017  gsumbagdiaglem  19375  voliunlem2  23319  itg2split  23516  dvfsumlem3  23791  pilem2  24206  logimul  24360  emcllem2  24723  chtublem  24936  dchrisum0re  25202  pntlemg  25287  crctcshwlkn0  26713  logdivsqrle  30728  poimirlem7  33416  totbndbnd  33588  binomcxplemnn0  38548  fmtnodvds  41456  lighneallem4a  41525  nnolog2flm1  42384