Theorem itg2split 23516

Description: The ∫₂ integral splits under an almost disjoint union. (The proof avoids the use of itg2add 23526 which requires CC.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2split.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
itg2split.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
itg2split.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2split	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2split

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2split.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
2		itg2split.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
3		itg2split.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
4		itg2split.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
5		itg2split.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6		itg2split.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
7		itg2split.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
8		itg2split.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
9		itg2split.sf	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
10		itg2split.sg	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	itg2splitlem 23515	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
12	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
13	5	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
16	13, 15	ifclda 4120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
17	16, 8	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
18	9, 10	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
19		itg2lecl 23505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))) → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ)
20	17, 18, 11, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ)
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)) → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ)
22		itg1cl 23452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
23	22	ad2antrl 764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
24		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
25		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
26	24, 25	itg1add 23468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (∫1‘(𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)) = ((∫1‘𝑓) + (∫1‘𝑔)))
27	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
28	24, 25	i1fadd 23462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ dom ∫1)
29		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
30		mblss 23299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
32	29, 31	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
34	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
35		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
36		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
37		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝑓
38		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥 ∘𝑟 ≤
39		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
40	6, 39	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
41	37, 38, 40	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹
42	36, 41	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
43		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑔 ∈ dom ∫1
44		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝑔
45		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
46	7, 45	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
47	44, 38, 46	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺
48	43, 47	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺)
49	42, 48	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))
50	35, 49	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺)))
51		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
52		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
53	24, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
54		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → 𝑓 Fn ℝ)
56		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔 ∈ dom ∫1 → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
57	25, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
58		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔:ℝ⟶ℝ → 𝑔 Fn ℝ)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → 𝑔 Fn ℝ)
60		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℝ ∈ V
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → ℝ ∈ V)
62		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
63		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
64		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑥))
65	55, 59, 61, 61, 62, 63, 64	ofval 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)))
66	51, 65	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)))
67		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
68	53, 51, 67	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
69		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
70	57, 51, 69	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
71	68, 70	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
72	71	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ*)
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ*)
74	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
75	74	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ*)
76		iccssxr 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
77		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
78	27, 51, 77	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐻‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
79	76, 78	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
81	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
82		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
83		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺)
84	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
85		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔‘𝑥) ∈ V)
86		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
87	86, 4	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
88	87	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
89	88	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
90	89, 13	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
91	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
92	90, 91	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
93	92	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
94		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 Fn ℝ)
95		dffn5 6241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑔 Fn ℝ ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔‘𝑥)))
96	94, 95	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔‘𝑥)))
97	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
98	84, 85, 93, 96, 97	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
99	59, 98	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
100	83, 99	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
101	100	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
102	51, 101	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
104		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
106		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
107	105, 106	sylnib 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
108		imnan 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
109	107, 108	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
110	109	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
111	110	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
112	103, 111	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ≤ 0)
113	81, 82, 74, 112	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + 0))
114	74	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℂ)
115	114	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + 0) = (𝑓‘𝑥))
116	113, 115	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝑓‘𝑥))
117		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
118	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
119		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
120		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
121	120, 4	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
122	121	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
123	122	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
124	123, 13	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
125	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
126	124, 125	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
127	126	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
128		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 Fn ℝ)
129		dffn5 6241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑓 Fn ℝ ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑥)))
130	128, 129	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑥)))
131	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
132	118, 119, 127, 130, 131	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → (𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
133	55, 132	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
134	117, 133	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
135	134	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
136	51, 135	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
138	121	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝑈)
139	138	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
140	139	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
141		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
142	16	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
143	8	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞)) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
144	141, 142, 143	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
145	51, 144	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
147		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
148	147	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
149	140, 146, 148	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
150	137, 149	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥))
151	73, 75, 80, 116, 150	xrletrd 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝐻‘𝑥))
152	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ*)
153	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
154	153	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ*)
155	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
156	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
157		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
158	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
159		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
161	158, 160	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ 0)
162	156, 157, 153, 161	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (0 + (𝑔‘𝑥)))
163	153	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℂ)
164	163	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 + (𝑔‘𝑥)) = (𝑔‘𝑥))
165	162, 164	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝑔‘𝑥))
166	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
167	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
168	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
169	168	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
170		biorf 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)))
171		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
172	170, 171	syl6rbbr 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
173	172	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
174	169, 173	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
175	174	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
176	167, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
177	166, 176	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥))
178	152, 154, 155, 165, 177	xrletrd 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝐻‘𝑥))
179	151, 178	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝐻‘𝑥))
180	66, 179	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥))
181	180	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥)))
182	50, 181	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → ∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥))
183		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥)
184		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑦)
185		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
186		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
187	8, 186	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
188		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
189	187, 188	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑦)
190	184, 185, 189	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦)
191		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑦))
192		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑦))
193	191, 192	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥) ↔ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦)))
194	183, 190, 193	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
195	182, 194	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
196	195	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
197	27, 28, 33, 34, 196	itg2uba 23510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (∫1‘(𝑓 ∘𝑓 + 𝑔)) ≤ (∫2‘𝐻))
198	26, 197	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → ((∫1‘𝑓) + (∫1‘𝑔)) ≤ (∫2‘𝐻))
199	23	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
200		itg1cl 23452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑔) ∈ ℝ)
201	25, 200	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (∫1‘𝑔) ∈ ℝ)
202	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ)
203	199, 201, 202	leaddsub2d 10629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (((∫1‘𝑓) + (∫1‘𝑔)) ≤ (∫2‘𝐻) ↔ (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓))))
204	198, 203	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺))) → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))
205	204	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺)) → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))
206	205	expr 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)) ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺 → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓))))
207	206	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺 → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓))))
208	92, 7	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
209	208	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
210	21, 23	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)) → ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ∈ ℝ)
211	210	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)) → ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ∈ ℝ*)
212		itg2leub 23501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐺) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺 → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))))
213	209, 211, 212	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)) → ((∫2‘𝐺) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐺 → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))))
214	207, 213	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)) → (∫2‘𝐺) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))
215	12, 21, 23, 214	lesubd 10631	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹)) → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)))
216	215	expr 643	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺))))
217	216	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺))))
218	126, 6	fmptd 6385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
219	20, 10	resubcld 10458	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
220	219	rexrd 10089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*)
221		itg2leub 23501	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)))))
222	218, 220, 221	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)))))
223	217, 222	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)))
224		leaddsub 10504	. . . 4 ⊢ (((∫2‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐻) ∈ ℝ) → (((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ≤ (∫2‘𝐻) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺))))
225	9, 10, 20, 224	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ≤ (∫2‘𝐻) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺))))
226	223, 225	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ≤ (∫2‘𝐻))
227		itg2cl 23499	. . . 4 ⊢ (𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ*)
228	17, 227	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ*)
229	18	rexrd 10089	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*)
230		xrletri3 11985	. . 3 ⊢ (((∫2‘𝐻) ∈ ℝ* ∧ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐻) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ ((∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∧ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ≤ (∫2‘𝐻))))
231	228, 229, 230	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐻) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ ((∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∧ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ≤ (∫2‘𝐻))))
232	11, 226, 231	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ifcif 4086   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   ∘_𝑟 cofr 6896  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   ≤ cle 10075   − cmin 10266  [,]cicc 12178  vol*covol 23231  volcvol 23232  ∫₁citg1 23384  ∫₂citg2 23385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390

This theorem is referenced by:  itg2cnlem2  23529  itgsplit  23602  iblsplit  40182