Theorem limcnlp 23642

Description: If 𝐵 is not a limit point of the domain of the function 𝐹, then every point is a limit of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimc2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcnlp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
limcnlp	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Proof of Theorem limcnlp

Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		limccl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		limccl.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		ellimc2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
5	1, 2, 3, 4	ellimc2 23641	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
6	4	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ Top
7	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
8	7	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
9	4	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
10	9	toponunii 20721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
11	10	clscld 20851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ) → ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾))
12	6, 8, 11	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾))
13	10	cldopn 20835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾) → (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾)
15		limcnlp.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
16	10	islp 20944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
17	6, 2, 16	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
18	15, 17	mtbid 314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
19	3, 18	eldifd 3585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
21		difin2 3890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
22	8, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
23	10	sscls 20860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
24	6, 8, 23	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25		ssdif0 3942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ↔ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
26	24, 25	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
27	22, 26	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)
28	27	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ ∅))
29		ima0 5481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ ∅) = ∅
30	28, 29	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
31		0ss 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ⊆ 𝑢
32	30, 31	syl6eqss 3655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
33		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝐵 ∈ 𝑣 ↔ 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))))
34		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
35	34	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
36	35	sseq1d 3632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → ((𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
37	33, 36	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → ((𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
38	37	rspcev 3309	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
39	14, 20, 32, 38	syl12anc 1324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
40	39	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
41	40	ralrimivw 2967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
42	41	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
43	42	pm4.71d 666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
44	5, 43	bitr4d 271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
45	44	eqrdv 2620	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177   “ cima 5117  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746  Topctop 20698  Clsdccld 20820  clsccl 20822  limPtclp 20938   lim_ℂ climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cls 20825  df-lp 20940  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by: (None)