Theorem lindsmm 20167

Description: Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfmm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lindfmm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lindsmm	⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Proof of Theorem lindsmm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 525	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
2	1	3ad2ant3 1084	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
3		f1oi 6174	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹
4		f1of 6137	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹
6		simp3 1063	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7		fss 6056	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵)
8	5, 6, 7	sylancr 695	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵)
9		lindfmm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		lindfmm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
11	9, 10	lindfmm 20166	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
12	8, 11	syld3an3 1371	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
13	2, 12	bitr3d 270	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
14		lmhmlmod1 19033	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
15	14	3ad2ant1 1082	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ LMod)
16	9	islinds 20148	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
18		lmhmlmod2 19032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
19	18	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
20	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → 𝑇 ∈ LMod)
21		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
22		f1ores 6151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→(𝐺 “ 𝐹))
23		f1of1 6136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→(𝐺 “ 𝐹) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
25	24	3adant1 1079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
26	25	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹))
27		f1linds 20164	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→(𝐺 “ 𝐹)) → (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
28	20, 21, 26, 27	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
29		df-ima 5127	. . . . 5 ⊢ (𝐺 “ 𝐹) = ran (𝐺 ↾ 𝐹)
30		lindfrn 20160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺 ↾ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
31	19, 30	sylan 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺 ↾ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
32	29, 31	syl5eqel 2705	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇) → (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
33	28, 32	impbida 877	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇))
34		coires1 5653	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) = (𝐺 ↾ 𝐹)
35	34	breq1i 4660	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇 ↔ (𝐺 ↾ 𝐹) LIndF 𝑇)
36	33, 35	syl6bbr 278	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
37	13, 17, 36	3bitr4d 300	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺 “ 𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   I cid 5023  ran crn 5115   ↾ cres 5116   “ cima 5117   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  –1-1→wf1 5885  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  LModclmod 18863   LMHom clmhm 19019   LIndF clindf 20143  LIndSclinds 20144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lmhm 19022  df-lindf 20145  df-linds 20146

This theorem is referenced by:  lindsmm2  20168