Theorem lkrlsp 34389

Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel (by ellkr 34376) is the whole vector space. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlsp.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrlsp.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lkrlsp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrlsp	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 19106	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1082	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2r 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrlsp.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrlsp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 34382	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		simp2l 1087	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lkrlsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lkrlsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	10, 6, 11	lspsncl 18977	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	2, 9, 12	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
14		lkrlsp.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15	6, 14	lsmcl 19083	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	2, 8, 13, 15	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	10, 6	lssss 18937	. . 3 ⊢ (((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
19		simpl1 1064	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
20	19, 1	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ 𝑉)
22		lkrlsp.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
23	22	lmodring 18871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
25		simpl2r 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
26		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
27	22, 26, 10, 4	lflcl 34351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
28	19, 25, 21, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
29	22	lvecdrng 19105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
30	19, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
31		simpl2l 1114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
32	22, 26, 10, 4	lflcl 34351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
33	19, 25, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
34		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
35		lkrlsp.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
36		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invr‘𝐷) = (invr‘𝐷)
37	26, 35, 36	drnginvrcl 18764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
38	30, 33, 34, 37	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
39		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
40	26, 39	ringcl 18561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
41	24, 28, 38, 40	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
42		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
43	10, 22, 42, 26	lmodvscl 18880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
44	20, 41, 31, 43	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
45		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
46		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
47	10, 45, 46	lmodvnpcan 18917	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = 𝑢)
48	20, 21, 44, 47	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = 𝑢)
49	6	lsssssubg 18958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
50	20, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
51	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
52	50, 51	sseldd 3604	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐾‘𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
54	50, 53	sseldd 3604	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
55	10, 46	lmodvsubcl 18908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
56	20, 21, 44, 55	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
57		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
58	22, 57, 10, 46, 4	lflsub 34354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑢 ∈ 𝑉 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))))
59	20, 25, 21, 44, 58	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))))
60	22, 26, 39, 10, 42, 4	lflmul 34355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
61	20, 25, 41, 31, 60	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
62	26, 39	ringass 18564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))))
63	24, 28, 38, 33, 62	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))))
64		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
65	26, 35, 39, 64, 36	drnginvrl 18766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝐷))
66	30, 33, 34, 65	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝐷))
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(1r‘𝐷)))
68	26, 39, 64	ringridm 18572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(1r‘𝐷)) = (𝐺‘𝑢))
69	24, 28, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(1r‘𝐷)) = (𝐺‘𝑢))
70	67, 69	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))) = (𝐺‘𝑢))
71	61, 63, 70	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (𝐺‘𝑢))
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑢)))
73	22	lmodfgrp 18872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
74	20, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
75	26, 35, 57	grpsubid 17499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) = 0 )
76	74, 28, 75	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) = 0 )
77	59, 72, 76	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = 0 )
78	10, 22, 35, 4, 5	ellkr 34376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = 0 )))
79	19, 25, 78	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = 0 )))
80	56, 77, 79	mpbir2and 957	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺))
81	10, 42, 22, 26, 11, 20, 41, 31	lspsneli 19001	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
82	45, 14	lsmelvali 18065	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾‘𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
83	52, 54, 80, 81, 82	syl22anc 1327	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
84	48, 83	eqeltrrd 2702	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
85	84	ex 450	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝑢 ∈ 𝑉 → 𝑢 ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
86	85	ssrdv 3609	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝑉 ⊆ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
87	18, 86	eqssd 3620	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  -_gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588  LSSumclsm 18049  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  inv_rcinvr 18671  DivRingcdr 18747  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932  LSpanclspn 18971  LVecclvec 19102  LFnlclfn 34344  LKerclk 34372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lfl 34345  df-lkr 34373

This theorem is referenced by:  lkrlsp2  34390