Theorem eqlkr3 34388

Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr3.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr3.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
eqlkr3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
eqlkr3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
eqlkr3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
eqlkr3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
eqlkr3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr3.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr3.e	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
eqlkr3.a	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
eqlkr3.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
eqlkr3	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem eqlkr3

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr3.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqlkr3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		eqlkr3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
4		eqlkr3.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
5		eqlkr3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqlkr3.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	lflf 34350	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝑅)
8	1, 2, 7	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝑅)
9		ffn 6045	. . 3 ⊢ (𝐺:𝑉⟶𝑅 → 𝐺 Fn 𝑉)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
11		eqlkr3.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
12	3, 4, 5, 6	lflf 34350	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:𝑉⟶𝑅)
13	1, 11, 12	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑉⟶𝑅)
14		ffn 6045	. . 3 ⊢ (𝐻:𝑉⟶𝑅 → 𝐻 Fn 𝑉)
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
16		eqlkr3.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
17		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
18		eqlkr3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
19	3, 4, 17, 5, 6, 18	eqlkr 34386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))
20	1, 2, 11, 16, 19	syl121anc 1331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))
21		eqlkr3.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑋))
24		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑋))
25	24	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟))
26	23, 25	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
27	26	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
28	22, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
29		eqlkr3.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐻‘𝑋))
32		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟))
33	31, 32	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟) = (𝐺‘𝑋))
34	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)))
35	3	lvecdrng 19105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
36	1, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
38	3, 4, 5, 6	lflcl 34351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
39	1, 2, 21, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅)
41		eqlkr3.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
43		eqlkr3.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
46	4, 43, 17, 44, 45	drnginvrl 18766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
47	37, 40, 42, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟))
49		lveclmod 19106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
50	1, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
51	3	lmodring 18871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
54	4, 43, 45	drnginvrcl 18764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅)
55	37, 40, 42, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅)
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
57	4, 17	ringass 18564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝑅 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅)) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
58	53, 55, 40, 56, 57	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)𝑟) = (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)))
59	4, 17, 44	ringlidm 18571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟) = 𝑟)
60	53, 56, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((1r‘𝑆)(.r‘𝑆)𝑟) = 𝑟)
61	48, 58, 60	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = 𝑟)
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) = 𝑟)
63	47	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → (((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝑆))
64	34, 62, 63	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟)) → 𝑟 = (1r‘𝑆))
65	64	ex 450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((𝐻‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r‘𝑆)))
66	28, 65	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → 𝑟 = (1r‘𝑆)))
67	66	ancrd 577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))))
68	67	reximdva 3017	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟))))
69	20, 68	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)))
70	4, 44	ringidcl 18568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝑅)
71	52, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝑅)
72		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
73	72	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
74	73	ralbidv 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (1r‘𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
75	74	ceqsrexv 3336	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑅 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
76	71, 75	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 (𝑟 = (1r‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆))))
77	69, 76	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
78	77	r19.21bi 2932	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
79	50	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
80	79, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ Ring)
81	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
82	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
83		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
84	3, 4, 5, 6	lflcl 34351	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅)
85	81, 82, 83, 84	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅)
86	4, 17, 44	ringridm 18572	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑅) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑥))
87	80, 85, 86	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑥)(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑥))
88	78, 87	eqtr2d 2657	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
89	10, 15, 88	eqfnfvd 6314	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  Scalarcsca 15944  0_gc0g 16100  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  inv_rcinvr 18671  DivRingcdr 18747  LModclmod 18863  LVecclvec 19102  LFnlclfn 34344  LKerclk 34372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-lfl 34345  df-lkr 34373

This theorem is referenced by:  lcfl6lem  36787