Theorem pjth 23210

Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjth.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjth.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
pjth.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
pjth.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjth.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjth	⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) = 𝑉)

Proof of Theorem pjth

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlphl 23161	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2	1	3ad2ant1 1082	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ PreHil)
3		phllmod 19975	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ LMod)
5		simp2 1062	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐿)
6		pjth.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		pjth.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
8	6, 7	lssss 18937	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
9	8	3ad2ant2 1083	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
10		pjth.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
11	6, 10, 7	ocvlss 20016	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿)
12	2, 9, 11	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿)
13		pjth.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14	7, 13	lsmcl 19083	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ∈ 𝐿)
15	4, 5, 12, 14	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ∈ 𝐿)
16	6, 7	lssss 18937	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ∈ 𝐿 → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
18		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
20		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
21		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
22		simpl1 1064	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂHil)
23		simpl2 1065	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐿)
24		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
25		pjth.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
26		simpl3 1066	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
27	6, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 23, 24, 25, 13, 10, 26	pjthlem2 23209	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)))
28	27	ex 450	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑉 → 𝑥 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈))))
29	28	ssrdv 3609	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑉 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)))
30	17, 29	eqssd 3620	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  ·_𝑖cip 15946  TopOpenctopn 16082  -_gcsg 17424  LSSumclsm 18049  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932  PreHilcphl 19969  ocvcocv 20004  Clsdccld 20820  normcnm 22381  ℂHilchl 23131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-ocv 20007  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-flim 21743  df-fcls 21745  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-cncf 22681  df-clm 22863  df-cph 22968  df-cfil 23053  df-cmet 23055  df-cms 23132  df-bn 23133  df-hl 23134

This theorem is referenced by:  pjth2  23211