Theorem lswccatn0lsw 13373

Description: The last symbol of a word concatenated with a nonempty word is the last symbol of the nonempty word. (Contributed by AV, 22-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lswccatn0lsw	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ( lastS ‘𝐵))

Proof of Theorem lswccatn0lsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ++ 𝐵) ∈ V
2		lsw 13351	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ V → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
4		ccatlen 13360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
5	4	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1))
6	5	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1))
7		lencl 13324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
9	8	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
10		lennncl 13325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
11	10	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
12		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
13		nnz 11399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐵) ∈ ℕ → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
15	12, 14	zaddcld 11486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℤ)
16		zre 11381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
17		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐵) ∈ ℕ → (#‘𝐵) ∈ ℝ+)
18		ltaddrp 11867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ+) → (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
19	16, 17, 18	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
20	12, 15, 19	3jca 1242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
21	9, 11, 20	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
22		fzolb 12476	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
23	21, 22	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐴) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
24		fzoend 12559	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) → (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
26	6, 25	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
27		ccatval2 13362	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴))))
28	26, 27	syld3an3 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴))))
29	5	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)))
30	7	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
31		lencl 13324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
33		addcl 10018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℂ)
34		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
35		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
36	33, 34, 35	sub32d 10424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘𝐴)) − 1))
37		pncan2 10288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘𝐴)) = (#‘𝐵))
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘𝐴)) − 1) = ((#‘𝐵) − 1))
39	36, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((#‘𝐵) − 1))
40	30, 32, 39	syl2an 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((#‘𝐵) − 1))
41	29, 40	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((#‘𝐵) − 1))
42	41	3adant3 1081	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((#‘𝐵) − 1))
43	42	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘(((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴))) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
44	28, 43	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
45	3, 44	eqtrd 2656	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
46		lsw 13351	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝐵) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
47	46	eqcomd 2628	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)) = ( lastS ‘𝐵))
48	47	3ad2ant2 1083	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)) = ( lastS ‘𝐵))
49	45, 48	eqtrd 2656	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ( lastS ‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ℝ⁺crp 11832  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   ++ cconcat 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301

This theorem is referenced by:  lswccats1  13411