Theorem ccatrn 13372

Description: The range of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatrn	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))

Proof of Theorem ccatrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatvalfn 13365	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
2		lencl 13324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
4		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5	3, 4	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
6	3	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
7		uzid 11702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑆) ∈ ℤ → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
9		lencl 13324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
11		uzaddcl 11744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
12	8, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
13		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ ((#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆))))
14	5, 12, 13	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
15		fzosplit 12501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) → (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) = ((0..^(#‘𝑆)) ∪ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) = ((0..^(#‘𝑆)) ∪ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
17	16	eleq2d 2687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((0..^(#‘𝑆)) ∪ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))))
18		elun 3753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((0..^(#‘𝑆)) ∪ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
19	17, 18	syl6bb 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))))
20		ccatval1 13361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
21	20	3expa 1265	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
22		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑆 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
23		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
24		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐵)
25		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
27		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ ran 𝑆)
28	26, 27	sylan 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ ran 𝑆)
29	22, 28	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
30	21, 29	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
31		ccatval2 13362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
32	31	3expa 1265	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
33		ssun2 3777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑇 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
34		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
35		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵)
36		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵 → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
37	34, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
39		elfzouz 12474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
41		uznn0sub 11719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ ℕ0)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ ℕ0)
43	42, 4	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
44	10	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
46		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) → 𝑥 < ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑥 < ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
48		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℤ)
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
50	49	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
52	51	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (#‘𝑆) ∈ ℝ)
53	45	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (#‘𝑇) ∈ ℝ)
54	50, 52, 53	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑥 − (#‘𝑆)) < (#‘𝑇) ↔ 𝑥 < ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
55	47, 54	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) < (#‘𝑇))
56		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)) ↔ ((𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑥 − (#‘𝑆)) < (#‘𝑇)))
57	43, 45, 55, 56	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
58		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)) ∧ (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
59	38, 57, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
60	33, 59	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
61	32, 60	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
62	30, 61	jaodan 826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
63	62	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
64	19, 63	sylbid 230	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
65	64	ralrimiv 2965	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
66		ffnfv 6388	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
67	1, 65, 66	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇):(0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
68		frn 6053	. . 3 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) → ran (𝑆 ++ 𝑇) ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
69	67, 68	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
70	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
71		fzoss2 12496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)) → (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
72	12, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
73	72	sselda 3603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
74		fnfvelrn 6356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
75	70, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
76	21, 75	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
77	76	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))(𝑆‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
78		ffnfv 6388	. . . . 5 ⊢ (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))(𝑆‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
79	26, 77, 78	sylanbrc 698	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
80		frn 6053	. . . 4 ⊢ (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) → ran 𝑆 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
81	79, 80	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑆 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
82		ccatval3 13363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (#‘𝑆))) = (𝑇‘𝑥))
83	82	3expa 1265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (#‘𝑆))) = (𝑇‘𝑥))
84	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
85		elfzouz 12474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
87	86, 4	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
88	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
89	87, 88	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑥 + (#‘𝑆)) ∈ ℕ0)
90	89, 4	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑥 + (#‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
91	3, 10	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℕ0)
92	91	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ)
93	92	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ)
94	87	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
95	88	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
96	94, 95	addcomd 10238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑥 + (#‘𝑆)) = ((#‘𝑆) + 𝑥))
97	87	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
98	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
99	98	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑇) ∈ ℝ)
100	88	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ ℝ)
101		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) → 𝑥 < (#‘𝑇))
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 < (#‘𝑇))
103	97, 99, 100, 102	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((#‘𝑆) + 𝑥) < ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
104	96, 103	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑥 + (#‘𝑆)) < ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
105		elfzo2 12473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 + (#‘𝑆)) ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ ((𝑥 + (#‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (#‘𝑆)) < ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
106	90, 93, 104, 105	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑥 + (#‘𝑆)) ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
107		fnfvelrn 6356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ (𝑥 + (#‘𝑆)) ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (#‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
108	84, 106, 107	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (#‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
109	83, 108	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
110	109	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))(𝑇‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
111		ffnfv 6388	. . . . 5 ⊢ (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))(𝑇‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
112	37, 110, 111	sylanbrc 698	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
113		frn 6053	. . . 4 ⊢ (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) → ran 𝑇 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
114	112, 113	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑇 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
115	81, 114	unssd 3789	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
116	69, 115	eqssd 3620	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ran crn 5115   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301

This theorem is referenced by:  mrsubvrs  31419