Theorem hashge2el2dif 13262

Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2dif	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑥} → (#‘𝐷) = (#‘{𝑥}))
2		hashsng 13159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (#‘{𝑥}) = 1)
3	1, 2	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝐷 = {𝑥}) → (#‘𝐷) = 1)
4	3	ralimiaa 2951	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ∀𝑥 ∈ 𝐷 (#‘𝐷) = 1)
5		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 10053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
9		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
11		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℝ)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (#‘𝐷) ∈ ℝ)
14	8, 10, 13	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → ((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℝ))
15		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
16		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
17	15, 16	eqbrtri 4674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) < 2
18	17	jctl 564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ (#‘𝐷) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
21		ltleletr 10130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℝ) → (((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
22	14, 20, 21	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 + 1) ≤ (#‘𝐷))
23	11	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℤ)
24		0z 11388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
25	23, 24	jctil 560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ))
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ))
27		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 < (#‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 < (#‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
29	22, 28	mpbird 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 0 < (#‘𝐷))
30		0ltpnf 11956	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < +∞
31		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
32	31	anim2i 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐷 ∈ 𝑉))
33	32	ancomd 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin))
34		hashinf 13122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin) → (#‘𝐷) = +∞)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (#‘𝐷) = +∞)
36	30, 35	syl5breqr 4691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 0 < (#‘𝐷))
37	29, 36	pm2.61ian 831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 0 < (#‘𝐷))
38		hashgt0n0 13156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 0 < (#‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
39	37, 38	syldan 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
40		rspn0 3934	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐷 (#‘𝐷) = 1 → (#‘𝐷) = 1))
41	39, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑥 ∈ 𝐷 (#‘𝐷) = 1 → (#‘𝐷) = 1))
42		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ 2 ≤ 1))
43	6, 9	ltnlei 10158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
44		pm2.21 120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
45	43, 44	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
46	16, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
47	42, 46	syl6bi 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (#‘𝐷) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
48	47	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (2 ≤ (#‘𝐷) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
49	48	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
50	41, 49	syldc 48	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (#‘𝐷) = 1 → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
51	4, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
52		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
53	51, 52	pm2.61i 176	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
54		eqsn 4361	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥))
55	39, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥))
56		equcom 1945	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦))
58	57	ralbidv 2986	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
59	55, 58	bitrd 268	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
60	59	ralbidv 2986	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
61	53, 60	mtbid 314	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
62		df-ne 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
63	62	rexbii 3041	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦)
64		rexnal 2995	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
65	63, 64	bitri 264	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
66	65	rexbii 3041	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
67		rexnal 2995	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
68	66, 67	bitri 264	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
69	61, 68	sylibr 224	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  +∞cpnf 10071   < clt 10074   ≤ cle 10075  2c2 11070  ℤcz 11377  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13264  fundmge2nop0  13274  tglowdim1  25395