Theorem m11nprm 41518

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11309	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 11307	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 11311	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 11315	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 11308	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 41517	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 11154	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 11535	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 11142	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 11583	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 11310	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 11316	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2622	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 11314	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 11654	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 11144	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 11313	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 11134	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 11598	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 11581	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 11655	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 11304	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addid1i 10223	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 11568	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 11663	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 11610	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 11581	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 11664	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 11589	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 11587	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2647	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1483  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by: (None)