Theorem mapdpglem31 36992

Description: Lemma for mapdpg 36995. Baer p. 45 line 19: "...and we have consequently that y' = y'', as we claimed." (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
mapdpglem28.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
mapdpglem28.u1	⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2	⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem31	⊢ (𝜑 → ℎ = 𝑖)

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝑅(𝑢,ℎ,𝑖)   · (ℎ,𝑖)   𝑈(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   − (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑂(ℎ,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑊(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑌(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   0 (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem31

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem28.u1	. 2 ⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
2		mapdpg.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdpg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpglem26.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
6		mapdpg.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
8		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
9		mapdpg.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcd1 36898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝐴))
11	10	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝑖) = ((1r‘𝐴) · 𝑖))
12	2, 6, 9	lcdlmod 36881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
13		mapdpgem25.i1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
14	13	simpld 475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
15		mapdpg.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
16		mapdpglem26.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
17	15, 7, 16, 8	lmodvs1 18891	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝑖) = 𝑖)
18	12, 14, 17	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝑖) = 𝑖)
19		mapdpg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
20		mapdpg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
21		mapdpg.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
22		mapdpg.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
23		mapdpg.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
24		mapdpg.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
25		mapdpg.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26		mapdpg.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
27		mapdpg.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28		mapdpg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		mapdpg.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30		mapdpg.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
31		mapdpgem25.h1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
32		mapdpglem26.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
33		mapdpglem26.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
34		mapdpglem28.ve	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
35		mapdpglem28.u2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
36		mapdpglem28.ue	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)
37	2, 19, 3, 20, 21, 22, 23, 6, 15, 24, 25, 9, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 4, 32, 16, 33, 34, 1, 35, 36	mapdpglem30 36991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))
38		eqtr2 2642	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢) → (1r‘𝐴) = 𝑢)
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) = 𝑢)
40	39	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑖) = (𝑢 · 𝑖))
41	11, 18, 40	3eqtr3rd 2665	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 · 𝑖) = 𝑖)
42	1, 41	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝜑 → ℎ = 𝑖)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∖ cdif 3571  {csn 4177  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100  -_gcsg 17424  1_rcur 18501  LModclmod 18863  LSpanclspn 18971  HLchlt 34637  LHypclh 35270  DVecHcdvh 36367  LCDualclcd 36875  mapdcmpd 36913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684  df-lcdual 36876  df-mapd 36914

This theorem is referenced by:  mapdpglem32  36994