Theorem mndodconglem 17960

Description: Lemma for mndodcong 17961. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mndodconglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mndodconglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
mndodconglem.3	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
mndodconglem.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
mndodconglem.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mndodconglem.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑂‘𝐴))
mndodconglem.7	⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑂‘𝐴))
mndodconglem.8	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mndodconglem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)

Proof of Theorem mndodconglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndodconglem.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		mndodconglem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
3	2	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
5		mndodconglem.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
8		mndodconglem.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
11	4, 7, 10	addsubassd 10412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) = ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)))
12	2	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
13	5	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	12, 13	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ)
15	14	zred 11482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ∈ ℝ)
16		mndodconglem.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑂‘𝐴))
17		nn0addge1 11339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + 𝑀))
18	3, 5, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + 𝑀))
19	9, 3, 15, 16, 18	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < ((𝑂‘𝐴) + 𝑀))
20	8	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21		znnsub 11423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 < ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
22	20, 14, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
23	19, 22	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ)
24	11, 23	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) ∈ ℕ)
25	4, 7, 10	addsub12d 10415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) = (𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)))
26	25	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
27		mndodconglem.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
28	27	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
29		mndodconglem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
30		znnsub 11423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
31	20, 12, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
32	16, 31	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ)
33	32	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0)
34		odcl.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
35		odid.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.g‘𝐺)
36		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
37	34, 35, 36	mulgnn0dir 17571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
38	29, 5, 33, 1, 37	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
39	34, 35, 36	mulgnn0dir 17571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
40	29, 8, 33, 1, 39	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
41	28, 38, 40	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
42	10, 4	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) = (𝑂‘𝐴))
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
44		odcl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
45		odid.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
46	34, 44, 35, 45	odid 17957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
47	1, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
48	43, 47	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
49	41, 48	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
50	26, 49	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
51	34, 44, 35, 45	odlem2 17958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))))
52	1, 24, 50, 51	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))))
53		elfzle2 12345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))) → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)))
54	52, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)))
55	13, 20	zsubcld 11487	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
56	55	zred 11482	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℝ)
57	3, 56	addge01d 10615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))))
58	54, 57	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 − 𝑁))
59	6, 9	subge0d 10617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑀 − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
60	58, 59	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)
61	6, 9	letri3d 10179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
62	61	biimprd 238	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
63	60, 62	mpan2d 710	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 = 𝑁))
64	63	imp 445	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  odcod 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-od 17948

This theorem is referenced by:  mndodcong  17961