Theorem onetansqsecsq 42502

Description: Prove the tangent squared secant squared identity (1 + ((tan A ) ^ 2 ) ) = ( ( sec 𝐴)↑2)). (Contributed by David A. Wheeler, 25-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onetansqsecsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((sec‘𝐴)↑2))

Proof of Theorem onetansqsecsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 14857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2		sqeq0 12927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (cos‘𝐴) = 0))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (cos‘𝐴) = 0))
4	3	necon3bid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘𝐴) ≠ 0))
5	4	biimpar 502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)
6	1	sqcld 13006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
7		divid 10714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
8	6, 7	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
9	5, 8	syldan 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
10	9	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 1 = (((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
11		tanval 14858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
12	11	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) = (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2))
13		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		sincl 14856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15		expdiv 12911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
16	14, 15	syl3an1 1359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
17	13, 16	mp3an3 1413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0)) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
18	17	3impb 1260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
19	1, 18	syl3an2 1360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
20	19	3anidm12 1383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
21	12, 20	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
22	10, 21	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
23	14	sqcld 13006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
24		divdir 10710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
25	6, 24	syl3an1 1359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
26	23, 25	syl3an2 1360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
27	26	3anidm12 1383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
28	27	3impb 1260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
29	6, 28	syl3an2 1360	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
30	29	3anidm12 1383	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
31	5, 30	syldan 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) + (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2))))
32	22, 31	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)))
33	23, 6	addcomd 10238	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
34		sincossq 14906	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
35	33, 34	eqtr3d 2658	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
36	35	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
37	36	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) / ((cos‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
38	32, 37	eqtrd 2656	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
39		secval 42488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (sec‘𝐴) = (1 / (cos‘𝐴)))
40	39	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sec‘𝐴)↑2) = ((1 / (cos‘𝐴))↑2))
41		ax-1cn 9994	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
42		expdiv 12911	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
43	41, 13, 42	mp3an13 1415	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
44	1, 43	sylan 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
45		sq1 12958	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
46	45	oveq1i 6660	. . . 4 ⊢ ((1↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2))
47	44, 46	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((1 / (cos‘𝐴))↑2) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
48	40, 47	eqtrd 2656	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sec‘𝐴)↑2) = (1 / ((cos‘𝐴)↑2)))
49	38, 48	eqtr4d 2659	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 + ((tan‘𝐴)↑2)) = ((sec‘𝐴)↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   / cdiv 10684  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ↑cexp 12860  sincsin 14794  cosccos 14795  tanctan 14796  seccsec 42482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-sec 42485

This theorem is referenced by: (None)