Theorem pellfund14gap 37451

Description: There are no solutions between 1 and the fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfund14gap	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → 𝐴 = 1)

Proof of Theorem pellfund14gap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3r 1090	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → 𝐴 < (PellFund‘𝐷))
2		pell14qrre 37421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		pellfundre 37445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
6	3, 5	ltnled 10184	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → (𝐴 < (PellFund‘𝐷) ↔ ¬ (PellFund‘𝐷) ≤ 𝐴))
7	1, 6	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → ¬ (PellFund‘𝐷) ≤ 𝐴)
8		simpl1 1064	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
9		simpl2 1065	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
10		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
11		pellfundlb 37448	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (PellFund‘𝐷) ≤ 𝐴)
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) ∧ 1 < 𝐴) → (PellFund‘𝐷) ≤ 𝐴)
13	7, 12	mtand 691	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → ¬ 1 < 𝐴)
14		simp3l 1089	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → 1 ≤ 𝐴)
15		1re 10039	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		leloe 10124	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
17	15, 3, 16	sylancr 695	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
18	14, 17	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴))
19		orel1 397	. . 3 ⊢ (¬ 1 < 𝐴 → ((1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴) → 1 = 𝐴))
20	13, 18, 19	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → 1 = 𝐴)
21	20	eqcomd 2628	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → 𝐴 = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  ℝcr 9935  1c1 9937   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  ◻_NNcsquarenn 37400  Pell14QRcpell14qr 37403  PellFundcpellfund 37404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409

This theorem is referenced by:  pellfund14  37462