MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgfvi Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ply1plusgfvi 19612
Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ply1plusgfvi |- ( +g ` (Poly1 ` R ) ) = ( +g ` (Poly1 ` ( _I ` R ) ) )
Proof of Theorem ply1plusgfvi
StepHypRef Expression
1 fvi 6255 . . . . 5 |- ( R e. _V -> ( _I ` R ) = R )
21fveq2d 6195 . . . 4 |- ( R e. _V -> (Poly1 ` ( _I ` R ) ) = (Poly1 ` R ) )
32fveq2d 6195 . . 3 |- ( R e. _V -> ( +g ` (Poly1 ` ( _I ` R ) ) ) = ( +g ` (Poly1 ` R ) ) )
4 eqid 2622 . . . . . 6 |- (Poly1 ` (/) ) = (Poly1 ` (/) )
5 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( 1o mPoly (/) ) = ( 1o mPoly (/) )
6 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( +g ` (Poly1 ` (/) ) ) = ( +g ` (Poly1 ` (/) ) )
74, 5, 6ply1plusg 19595 . . . . 5 |- ( +g ` (Poly1 ` (/) ) ) = ( +g ` ( 1o mPoly (/) ) )
8 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( 1o mPwSer (/) ) = ( 1o mPwSer (/) )
9 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( +g ` ( 1o mPoly (/) ) ) = ( +g ` ( 1o mPoly (/) ) )
105, 8, 9mplplusg 19590 . . . . . 6 |- ( +g ` ( 1o mPoly (/) ) ) = ( +g ` ( 1o mPwSer (/) ) )
11 base0 15912 . . . . . . . . . 10 |- (/) = ( Base ` (/) )
12 psr1baslem 19555 . . . . . . . . . 10 |- ( NN0 ^m 1o ) = { a e. ( NN0 ^m 1o ) | ( `' a " NN ) e. Fin }
13 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( Base ` ( 1o mPwSer (/) ) ) = ( Base ` ( 1o mPwSer (/) ) )
14 1on 7567 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. On
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 1o e. On )
168, 11, 12, 13, 15psrbas 19378 . . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( Base ` ( 1o mPwSer (/) ) ) = ( (/) ^m ( NN0 ^m 1o ) ) )
1716trud 1493 . . . . . . . 8 |- ( Base ` ( 1o mPwSer (/) ) ) = ( (/) ^m ( NN0 ^m 1o ) )
18 0nn0 11307 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. NN0
1918fconst6 6095 . . . . . . . . . 10 |- ( 1o X. { 0 } ) : 1o --> NN0
20 nn0ex 11298 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
2114elexi 3213 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. _V
2220, 21elmap 7886 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1o X. { 0 } ) e. ( NN0 ^m 1o ) <-> ( 1o X. { 0 } ) : 1o --> NN0 )
2319, 22mpbir 221 . . . . . . . . 9 |- ( 1o X. { 0 } ) e. ( NN0 ^m 1o )
24 ne0i 3921 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1o X. { 0 } ) e. ( NN0 ^m 1o ) -> ( NN0 ^m 1o ) =/= (/) )
25 map0b 7896 . . . . . . . . 9 |- ( ( NN0 ^m 1o ) =/= (/) -> ( (/) ^m ( NN0 ^m 1o ) ) = (/) )
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . 8 |- ( (/) ^m ( NN0 ^m 1o ) ) = (/)
2717, 26eqtr2i 2645 . . . . . . 7 |- (/) = ( Base ` ( 1o mPwSer (/) ) )
28 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( +g ` (/) ) = ( +g ` (/) )
29 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( +g ` ( 1o mPwSer (/) ) ) = ( +g ` ( 1o mPwSer (/) ) )
308, 27, 28, 29psrplusg 19381 . . . . . 6 |- ( +g ` ( 1o mPwSer (/) ) ) = ( oF ( +g ` (/) ) |` ( (/) X. (/) ) )
31 xp0 5552 . . . . . . 7 |- ( (/) X. (/) ) = (/)
3231reseq2i 5393 . . . . . 6 |- ( oF ( +g ` (/) ) |` ( (/) X. (/) ) ) = ( oF ( +g ` (/) ) |` (/) )
3310, 30, 323eqtri 2648 . . . . 5 |- ( +g ` ( 1o mPoly (/) ) ) = ( oF ( +g ` (/) ) |` (/) )
34 res0 5400 . . . . . 6 |- ( oF ( +g ` (/) ) |` (/) ) = (/)
35 df-plusg 15954 . . . . . . 7 |- +g = Slot 2
3635str0 15911 . . . . . 6 |- (/) = ( +g ` (/) )
3734, 36eqtri 2644 . . . . 5 |- ( oF ( +g ` (/) ) |` (/) ) = ( +g ` (/) )
387, 33, 373eqtri 2648 . . . 4 |- ( +g ` (Poly1 ` (/) ) ) = ( +g ` (/) )
39 fvprc 6185 . . . . . 6 |- ( -. R e. _V -> ( _I ` R ) = (/) )
4039fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( -. R e. _V -> (Poly1 ` ( _I ` R ) ) = (Poly1 ` (/) ) )
4140fveq2d 6195 . . . 4 |- ( -. R e. _V -> ( +g ` (Poly1 ` ( _I ` R ) ) ) = ( +g ` (Poly1 ` (/) ) ) )
42 fvprc 6185 . . . . 5 |- ( -. R e. _V -> (Poly1 ` R ) = (/) )
4342fveq2d 6195 . . . 4 |- ( -. R e. _V -> ( +g ` (Poly1 ` R ) ) = ( +g ` (/) ) )
4438, 41, 433eqtr4a 2682 . . 3 |- ( -. R e. _V -> ( +g ` (Poly1 ` ( _I ` R ) ) ) = ( +g ` (Poly1 ` R ) ) )
453, 44pm2.61i 176 . 2 |- ( +g ` (Poly1 ` ( _I ` R ) ) ) = ( +g ` (Poly1 ` R ) )
4645eqcomi 2631 1 |- ( +g ` (Poly1 ` R ) ) = ( +g ` (Poly1 ` ( _I ` R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   _I cid 5023   X. cxp 5112   |` cres 5116   Oncon0 5723   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   1oc1o 7553   ^m cmap 7857   0cc0 9936   2c2 11070   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   mPwSer cmps 19351   mPoly cmpl 19353  Poly1cpl1 19547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator