Theorem prmgaplem5 15759

Description: Lemma for prmgap 15763: for each integer greater than 2 there is a smaller prime closest to this integer, i.e. there is a smaller prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem5	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem5

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3359	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 ∈ ℙ)
2	1	ad2antlr 763	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℙ)
3		breq1 4656	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 𝑟 < 𝑁))
4		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 + 1) = (𝑟 + 1))
5	4	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 + 1)..^𝑁) = ((𝑟 + 1)..^𝑁))
6	5	raleqdv 3144	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
7	3, 6	anbi12d 747	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
8	7	adantl 482	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) ∧ 𝑝 = 𝑟) → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
9		breq1 4656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑁 ↔ 𝑟 < 𝑁))
10	9	elrab 3363	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 < 𝑁))
11	10	simprbi 480	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 < 𝑁)
12	11	ad2antlr 763	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑟 < 𝑁)
13		elfzo2 12473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))
14		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℙ)
15		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 < 𝑁)
16		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑁 ↔ 𝑧 < 𝑁))
17	16	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 < 𝑁))
18	14, 15, 17	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
19	18	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
20		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ↔ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
21		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
22		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
23	21, 22	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
24		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
25	24	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℝ)
26		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
27		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
28	27	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
29	25, 26, 28	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
30		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑧 ≤ 𝑟 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
31	29, 30	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
32	23, 31	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
33	32	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑟 ∈ ℙ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))))
34	33	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))))
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))))
36	35	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
37	20, 36	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
38	37	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
39	1, 38	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
41	40	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
43	19, 42	embantd 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
44	43	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
45		df-nel 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
46		ax-1 6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
47	46	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
48	45, 47	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
49	44, 48	pm2.61i 176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
50	49	impancom 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟)) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
51	13, 50	syl5bi 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟)) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
52	51	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ)))
53	52	ralimdv2 2961	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
54	53	imp 445	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)
55	12, 54	jca 554	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
56	2, 8, 55	rspcedvd 3317	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
57		eqid 2622	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}
58	57	prmgaplem3 15757	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟)
59	56, 58	r19.29a 3078	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∉ wnel 2897  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075  3c3 11071  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ..^cfzo 12465  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15761