Theorem prmgaplem5 15759

Description: Lemma for prmgap 15763: for each integer greater than 2 there is a smaller prime closest to this integer, i.e. there is a smaller prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem5	|- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> E. p e. Prime ( p < N /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ N ) z e/ Prime ) )

Distinct variable group:   N, p, z

Proof of Theorem prmgaplem5

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3359	. . . 4 |- ( r e. { q e. Prime | q < N } -> r e. Prime )
2	1	ad2antlr 763	. . 3 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ A. z e. { q e. Prime | q < N } z <_ r ) -> r e. Prime )
3		breq1 4656	. . . . 5 |- ( p = r -> ( p < N <-> r < N ) )
4		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( p = r -> ( p + 1 ) = ( r + 1 ) )
5	4	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( p = r -> ( ( p + 1 )..^ N ) = ( ( r + 1 )..^ N ) )
6	5	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( p = r -> ( A. z e. ( ( p + 1 )..^ N ) z e/ Prime <-> A. z e. ( ( r + 1 )..^ N ) z e/ Prime ) )
7	3, 6	anbi12d 747	. . . 4 |- ( p = r -> ( ( p < N /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ N ) z e/ Prime ) <-> ( r < N /\ A. z e. ( ( r + 1 )..^ N ) z e/ Prime ) ) )
8	7	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ A. z e. { q e. Prime | q < N } z <_ r ) /\ p = r ) -> ( ( p < N /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ N ) z e/ Prime ) <-> ( r < N /\ A. z e. ( ( r + 1 )..^ N ) z e/ Prime ) ) )
9		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( q = r -> ( q < N <-> r < N ) )
10	9	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( r e. { q e. Prime | q < N } <-> ( r e. Prime /\ r < N ) )
11	10	simprbi 480	. . . . 5 |- ( r e. { q e. Prime | q < N } -> r < N )
12	11	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ A. z e. { q e. Prime | q < N } z <_ r ) -> r < N )
13		elfzo2 12473	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( r + 1 )..^ N ) <-> ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) )
14		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. Prime /\ ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) ) -> z e. Prime )
15		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. Prime /\ ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) ) -> z < N )
16		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = z -> ( q < N <-> z < N ) )
17	16	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. { q e. Prime | q < N } <-> ( z e. Prime /\ z < N ) )
18	14, 15, 17	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. Prime /\ ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) ) -> z e. { q e. Prime | q < N } )
19	18	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Prime /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) ) ) -> z e. { q e. Prime | q < N } )
20		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) <-> ( ( r + 1 ) e. ZZ /\ z e. ZZ /\ ( r + 1 ) <_ z ) )
21		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( r e. Prime -> r e. ZZ )
22		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( r e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( r < z <-> ( r + 1 ) <_ z ) )
23	21, 22	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( r e. Prime /\ z e. ZZ ) -> ( r < z <-> ( r + 1 ) <_ z ) )
24		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( r e. Prime -> r e. NN )
25	24	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( r e. Prime -> r e. RR )
26		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
27		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( r e. RR /\ z e. RR ) -> ( r < z <-> -. z <_ r ) )
28	27	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( r e. RR /\ z e. RR ) -> ( r < z -> -. z <_ r ) )
29	25, 26, 28	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( r e. Prime /\ z e. ZZ ) -> ( r < z -> -. z <_ r ) )
30		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -. z <_ r -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) )
31	29, 30	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( r e. Prime /\ z e. ZZ ) -> ( r < z -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) ) )
32	23, 31	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( r e. Prime /\ z e. ZZ ) -> ( ( r + 1 ) <_ z -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) ) )
33	32	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. ZZ -> ( r e. Prime -> ( ( r + 1 ) <_ z -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) ) ) )
34	33	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ZZ -> ( ( r + 1 ) <_ z -> ( r e. Prime -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) ) ) )
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( r + 1 ) e. ZZ -> ( z e. ZZ -> ( ( r + 1 ) <_ z -> ( r e. Prime -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) ) ) ) )
36	35	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( r + 1 ) e. ZZ /\ z e. ZZ /\ ( r + 1 ) <_ z ) -> ( r e. Prime -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) ) )
37	20, 36	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) -> ( r e. Prime -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) ) )
38	37	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) -> ( r e. Prime -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) ) )
39	1, 38	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r e. { q e. Prime | q < N } -> ( ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) -> ( ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) ) )
41	40	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) ) -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Prime /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) ) ) -> ( z <_ r -> z e/ Prime ) )
43	19, 42	embantd 59	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. Prime /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) ) ) -> ( ( z e. { q e. Prime | q < N } -> z <_ r ) -> z e/ Prime ) )
44	43	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Prime -> ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) ) -> ( ( z e. { q e. Prime | q < N } -> z <_ r ) -> z e/ Prime ) ) )
45		df-nel 2898	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e/ Prime <-> -. z e. Prime )
46		ax-1 6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e/ Prime -> ( ( z e. { q e. Prime | q < N } -> z <_ r ) -> z e/ Prime ) )
47	46	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e/ Prime -> ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) ) -> ( ( z e. { q e. Prime | q < N } -> z <_ r ) -> z e/ Prime ) ) )
48	45, 47	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 |- ( -. z e. Prime -> ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) ) -> ( ( z e. { q e. Prime | q < N } -> z <_ r ) -> z e/ Prime ) ) )
49	44, 48	pm2.61i 176	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) ) -> ( ( z e. { q e. Prime | q < N } -> z <_ r ) -> z e/ Prime ) )
50	49	impancom 456	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ ( z e. { q e. Prime | q < N } -> z <_ r ) ) -> ( ( z e. ( ZZ>= ` ( r + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ z < N ) -> z e/ Prime ) )
51	13, 50	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ ( z e. { q e. Prime | q < N } -> z <_ r ) ) -> ( z e. ( ( r + 1 )..^ N ) -> z e/ Prime ) )
52	51	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) -> ( ( z e. { q e. Prime | q < N } -> z <_ r ) -> ( z e. ( ( r + 1 )..^ N ) -> z e/ Prime ) ) )
53	52	ralimdv2 2961	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) -> ( A. z e. { q e. Prime | q < N } z <_ r -> A. z e. ( ( r + 1 )..^ N ) z e/ Prime ) )
54	53	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ A. z e. { q e. Prime | q < N } z <_ r ) -> A. z e. ( ( r + 1 )..^ N ) z e/ Prime )
55	12, 54	jca 554	. . 3 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ A. z e. { q e. Prime | q < N } z <_ r ) -> ( r < N /\ A. z e. ( ( r + 1 )..^ N ) z e/ Prime ) )
56	2, 8, 55	rspcedvd 3317	. 2 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. { q e. Prime | q < N } ) /\ A. z e. { q e. Prime | q < N } z <_ r ) -> E. p e. Prime ( p < N /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ N ) z e/ Prime ) )
57		eqid 2622	. . 3 |- { q e. Prime | q < N } = { q e. Prime | q < N }
58	57	prmgaplem3 15757	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> E. r e. { q e. Prime | q < N } A. z e. { q e. Prime | q < N } z <_ r )
59	56, 58	r19.29a 3078	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> E. p e. Prime ( p < N /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ N ) z e/ Prime ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   3c3 11071   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15761