Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | prmunb 15618 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
∃𝑛 ∈ ℙ
𝑁 < 𝑛) |
2 | | eqid 2622 |
. . . . 5
⊢ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} |
3 | 2 | prmgaplem4 15758 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) |
4 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑁 < 𝑞 ↔ 𝑁 < 𝑝)) |
5 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ≤ 𝑛 ↔ 𝑝 ≤ 𝑛)) |
6 | 4, 5 | anbi12d 747 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) |
7 | 6 | elrab 3363 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) |
8 | | simplrl 800 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑝 ∈ ℙ) |
9 | | simprrl 804 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → 𝑁 < 𝑝) |
10 | 9 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑁 < 𝑝) |
11 | | simpll 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ ℙ) |
12 | | elfzo2 12473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝)) |
13 | | eluz2 11693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑧 ∈
(ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧)) |
14 | | nnz 11399 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℤ) |
15 | | prmz 15389 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈
ℤ) |
16 | | zltp1le 11427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧)) |
17 | 14, 15, 16 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧)) |
18 | 17 | exbiri 652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧))) |
19 | 18 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧))) |
20 | 19 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧))) |
21 | 20 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)) |
22 | 21 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧)) |
23 | 22 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧)) |
24 | 23 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧)) |
25 | 24 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝑁 + 1) ≤
𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → 𝑁 < 𝑧) |
26 | | prmnn 15388 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈
ℕ) |
27 | 26 | nnred 11035 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈
ℝ) |
28 | 27 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑧 ∈
ℝ) |
29 | | prmnn 15388 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℕ) |
30 | 29 | nnred 11035 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℝ) |
31 | 30 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈
ℝ) |
32 | 31 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈
ℝ) |
33 | | prmnn 15388 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈
ℕ) |
34 | 33 | nnred 11035 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈
ℝ) |
35 | 34 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑛 ∈
ℝ) |
36 | | ltleletr 10130 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≤ 𝑛)) |
37 | 28, 32, 35, 36 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((𝑧 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≤ 𝑛)) |
38 | 37 | exp4b 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛)))) |
39 | 38 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛)))) |
40 | 39 | expdcom 455 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛))))) |
41 | 40 | com45 97 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝 ≤ 𝑛 → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛))))) |
42 | 41 | com14 96 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑝 ≤ 𝑛 → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛))))) |
43 | 42 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛))))) |
44 | 43 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))) |
45 | 44 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛))) |
46 | 45 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)) |
47 | 46 | adantld 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → 𝑧 ≤ 𝑛)) |
48 | 47 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝑁 + 1) ≤
𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → 𝑧 ≤ 𝑛) |
49 | 25, 48 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝑁 + 1) ≤
𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)) |
50 | 49 | exp41 638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))))) |
51 | 50 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))))) |
52 | 13, 51 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑧 ∈
(ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))))) |
53 | 52 | 3imp 1256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑧 ∈
(ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))) |
54 | 12, 53 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))) |
55 | 54 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)) |
56 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑁 < 𝑞 ↔ 𝑁 < 𝑧)) |
57 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 ≤ 𝑛 ↔ 𝑧 ≤ 𝑛)) |
58 | 56, 57 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑞 = 𝑧 → ((𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))) |
59 | 58 | elrab 3363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))) |
60 | 11, 55, 59 | sylanbrc 698 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}) |
61 | | elfzolt2 12479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 < 𝑝) |
62 | 30 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → 𝑝 ∈ ℝ) |
63 | | ltnle 10117 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑧)) |
64 | 63 | biimpd 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧)) |
65 | 27, 62, 64 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧)) |
66 | 65 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧) |
67 | 66 | pm2.21d 118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∉ ℙ)) |
68 | 61, 67 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑝 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∉ ℙ)) |
69 | 60, 68 | embantd 59 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ)) |
70 | 69 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))) |
71 | 70 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))) |
72 | 71 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))) |
73 | | df-nel 2898 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬
𝑧 ∈
ℙ) |
74 | | ax-1 6 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 ∉ ℙ → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)) |
75 | 74 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ∉ ℙ → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))) |
76 | 75 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))) |
77 | 73, 76 | sylbir 225 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
𝑧 ∈ ℙ →
(((𝑁 ∈ ℕ ∧
𝑛 ∈ ℙ ∧
𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))) |
78 | 72, 77 | pm2.61i 176 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))) |
79 | 78 | ralimdv2 2961 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)) |
80 | 79 | imp 445 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ) |
81 | 8, 10, 80 | jca32 558 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))) |
82 | 81 | ex 450 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))) |
83 | 82 | ex 450 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))))) |
84 | 7, 83 | syl5bi 232 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))))) |
85 | 84 | impd 447 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))) |
86 | 85 | reximdv2 3014 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))) |
87 | 3, 86 | mpd 15 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)) |
88 | 87 | rexlimdv3a 3033 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
(∃𝑛 ∈ ℙ
𝑁 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))) |
89 | 1, 88 | mpd 15 |
1
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
∃𝑝 ∈ ℙ
(𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)) |