Theorem prmrec 15626

Description: The sum of the reciprocals of the primes diverges. Theorem 1.13 in [ApostolNT] p. 18. This is the "second" proof at http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_harmonic_series, attributed to Paul Erdős. This is Metamath 100 proof #81. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmrec.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
prmrec	⊢ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝

Distinct variable group:   𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem prmrec

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
2		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑘))
3	1, 2	ifbieq1d 4109	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
4	3	cbvmptv 4750	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
5	4	prmreclem6 15625	. 2 ⊢ ¬ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) ∈ dom ⇝
6		inss2 3834	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛)
7	6	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
8		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
9		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
12	11	rgen 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ
13	6, 12	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ)
14		fzfi 12771	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑛) ∈ Fin
15	14	olci 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑛) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
16		sumss2 14457	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℙ ∩ (1...𝑛)) ⊆ (1...𝑛) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((1...𝑛) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0))
17	13, 15, 16	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0)
18		elin 3796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)))
19	18	rbaib 947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)) ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
20	19	ifbid 4108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
21	20	sumeq2i 14429	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛)), (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)
22	17, 21	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)
23	8	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
24		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℕ)
25	24, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
27		0cnd 10033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℂ)
28	26, 27	ifclda 4120	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
29	28	trud 1493	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ
30	4	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
31	23, 29, 30	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
32		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
33		nnuz 11723	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
34	32, 33	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
35	29	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
36	31, 34, 35	fsumser 14461	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
37	22, 36	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
38	37	mpteq2ia 4740	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
39		prmrec.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (ℙ ∩ (1...𝑛))(1 / 𝑘))
40		1z 11407	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
41		seqfn 12813	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1)
43	33	fneq2i 5986	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn (ℤ≥‘1))
44	42, 43	mpbir 221	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ
45		dffn5 6241	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛)))
46	44, 45	mpbi 220	. . . 4 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))‘𝑛))
47	38, 39, 46	3eqtr4i 2654	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0)))
48	47	eleq1i 2692	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0))) ∈ dom ⇝ )
49	5, 48	mtbir 313	1 ⊢ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ifcif 4086   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  seqcseq 12801   ⇝ cli 14215  Σcsu 14416  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542

This theorem is referenced by: (None)