Theorem signstf0 30645

Description: Sign of a single letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstf0	⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝑊   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1len 13385	. . . . . 6 ⊢ (#‘⟨“𝐾”⟩) = 1
2	1	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = (0..^1)
3		fzo01 12550	. . . . 5 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = {0}
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = {0})
6		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)))
7	6, 4	syl6eleq 2711	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ {0})
8		velsn 4193	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ {0} ↔ 𝑛 = 0)
9	7, 8	sylib 208	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 = 0)
10		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
11		0z 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		fzsn 12383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...0) = {0}
14	10, 13	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = {0})
15	14	mpteq1d 4738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))
16	15	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
17	16	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
18		signsv.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
19		signsv.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
20	18, 19	signswmnd 30634	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 𝑊 ∈ Mnd)
22		0re 10040	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
24		s1fv 13390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
25		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ∈ ℝ)
26	24, 25	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ)
27	26	rexrd 10089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ*)
28		sgncl 30600	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ* → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
30	18, 19	signswbase 30631	. . . . . . . 8 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
31		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → (⟨“𝐾”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐾”⟩‘0))
32	31	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
33	30, 32	gsumsn 18354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
34	21, 23, 29, 33	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
35	34	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
36	24	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
37	36	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
38	17, 35, 37	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
39	9, 38	syldan 487	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
40	5, 39	mpteq12dva 4732	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
41		s1cl 13382	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
42		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
43		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
44	18, 19, 42, 43	signstfv 30640	. . 3 ⊢ (⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
45	41, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
46		sgnclre 30601	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘𝐾) ∈ ℝ)
47		s1val 13378	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐾) ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
48	46, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
49		fmptsn 6433	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘𝐾) ∈ ℝ) → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
50	22, 46, 49	sylancr 695	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
51	48, 50	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
52	40, 45, 51	3eqtr4d 2666	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ifcif 4086  {csn 4177  {cpr 4179  {ctp 4181  ⟨cop 4183   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  ℝ^*cxr 10073   − cmin 10266  -cneg 10267  ℤcz 11377  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291  ⟨“cs1 13294  sgncsgn 13826  Σcsu 14416  ndxcnx 15854  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941   Σ_g cgsu 16101  Mndcmnd 17294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-s1 13302  df-sgn 13827  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-cntz 17750

This theorem is referenced by:  signsvtn0  30647  signstfvneq0  30649