Theorem smfpimgtmpt 40989

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimgtmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimgtmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
smfpimgtmpt.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtmpt.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfpimgtmpt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 4747	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		smfpimgtmpt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfpimgtmpt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4		eqid 2622	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5		smfpimgtmpt.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
6	1, 2, 3, 4, 5	smfpreimagtf 40976	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
7		smfpimgtmpt.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
8		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9		smfpimgtmpt.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
10	7, 8, 9	dmmptdf 39417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
11	1	nfdm 5367	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
12		nfcv 2764	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
13	11, 12	rabeqf 3190	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)})
14	10, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)})
15	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
16	15, 9	fvmpt2d 6293	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
17	16	breq2d 4665	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < 𝐵))
18	7, 17	rabbida 39274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
19		eqidd 2623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
20	14, 18, 19	3eqtrrd 2661	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} = {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)})
21	10	eqcomd 2628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
22	21	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
23	20, 22	eleq12d 2695	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
24	6, 23	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  {crab 2916   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   < clt 10074   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fl 12593  df-rest 16083  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfrec  40996