Theorem subginv 17601

Description: The inverse of an element in a subgroup is the same as the inverse in the larger group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subg0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
subginv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
subginv.j	⊢ 𝐽 = (invg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subginv	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑋) = (𝐽‘𝑋))

Proof of Theorem subginv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subg0.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 17597	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Grp)
4	1	subgbas 17598	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	4	eleq2d 2687	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
6	5	biimpa 501	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
7		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
8		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
9		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
10		subginv.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (invg‘𝐻)
11	7, 8, 9, 10	grprinv 17469	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑋(+g‘𝐻)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐻))
12	3, 6, 11	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐻)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐻))
13		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14	1, 13	ressplusg 15993	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
16	15	oveqd 6667	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐽‘𝑋)) = (𝑋(+g‘𝐻)(𝐽‘𝑋)))
17		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
18	1, 17	subg0 17600	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
19	18	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
20	12, 16, 19	3eqtr4d 2666	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
21		subgrcl 17599	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
22	21	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
23		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
24	23	subgss 17595	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
25	24	sselda 3603	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
26	7, 10	grpinvcl 17467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
27	26	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)))
28	2, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)))
29	4	eleq2d 2687	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝐽‘𝑋) ∈ 𝑆 ↔ (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)))
30	28, 5, 29	3imtr4d 283	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐽‘𝑋) ∈ 𝑆))
31	30	imp 445	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐽‘𝑋) ∈ 𝑆)
32	24	sselda 3603	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐽‘𝑋) ∈ 𝑆) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺))
33	31, 32	syldan 487	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺))
34		subginv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
35	23, 13, 17, 34	grpinvid1 17470	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐽‘𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐺)))
36	22, 25, 33, 35	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐽‘𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐺)))
37	20, 36	mpbird 247	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑋) = (𝐽‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  inv_gcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591

This theorem is referenced by:  subginvcl  17603  subgsub  17606  subgmulg  17608  zringlpirlem1  19832  prmirred  19843  psgninv  19928  subgtgp  21909  clmneg  22881  qrngneg  25312