Theorem prmirred 19843

Description: The irreducible elements of ℤ are exactly the prime numbers (and their negatives). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmirred.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
prmirred	⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))

Proof of Theorem prmirred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmirred.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Irred‘ℤring)
2		zringbas 19824	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3	1, 2	irredcl 18704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 → 𝐴 ∈ ℤ)
4		elnn0 11294	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
5		ax-1 6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ 𝐼 → 𝐴 ∈ ℕ))
6		zringring 19821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring ∈ Ring
7		zring0 19828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
8	1, 7	irredn0 18703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ≠ 0)
9	6, 8	mpan 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 → 𝐴 ≠ 0)
10	9	necon2bi 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐼)
11	10	pm2.21d 118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ 𝐼 → 𝐴 ∈ ℕ))
12	5, 11	jaoi 394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐴 ∈ 𝐼 → 𝐴 ∈ ℕ))
13	4, 12	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝐼 → 𝐴 ∈ ℕ))
14		prmnn 15388	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ)
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ))
16	1	prmirredlem 19841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ ℙ))
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ ℙ)))
18	13, 15, 17	pm5.21ndd 369	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ ℙ))
19		nn0re 11301	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
20		nn0ge0 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
21	19, 20	absidd 14161	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
22	21	eleq1d 2686	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((abs‘𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝐴 ∈ ℙ))
23	18, 22	bitr4d 271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
24	23	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
25	1	prmirredlem 19841	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ → (-𝐴 ∈ 𝐼 ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
26	25	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (-𝐴 ∈ 𝐼 ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
27		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
28	1, 27, 2	irrednegb 18711	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ ((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼))
29	6, 28	mpan 706	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ ((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼))
30		zsubrg 19799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
31		subrgsubg 18786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
33		df-zring 19819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
35	33, 34, 27	subginv 17601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘ℤring)‘𝐴))
36	32, 35	mpan 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘ℤring)‘𝐴))
37		zcn 11382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
38		cnfldneg 19772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
40	36, 39	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴)
41	40	eleq1d 2686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼 ↔ -𝐴 ∈ 𝐼))
42	29, 41	bitrd 268	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ -𝐴 ∈ 𝐼))
43	42	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ -𝐴 ∈ 𝐼))
44		zre 11381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
45	44	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		nnnn0 11299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℕ0)
47	46	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ -𝐴)
48	47	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 0 ≤ -𝐴)
49	45	le0neg1d 10599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
50	48, 49	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ 0)
51	45, 50	absnidd 14152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
52	51	eleq1d 2686	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) ∈ ℙ ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
53	26, 43, 52	3bitr4d 300	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
54	53	adantrl 752	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
55		elznn0nn 11391	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
56	55	biimpi 206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
57	24, 54, 56	mpjaodan 827	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
58	3, 57	biadan2 674	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   ≤ cle 10075  -cneg 10267  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  abscabs 13974  ℙcprime 15385  inv_gcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588  Ringcrg 18547  Irredcir 18640  SubRingcsubrg 18776  ℂ_fldccnfld 19746  ℤ_ringzring 19818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-gz 15634  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-irred 18643  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-zring 19819

This theorem is referenced by: (None)