Theorem subsubelfzo0 41336

Description: Subtracting a difference from a number which is not less than the difference results in a bounded nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
subsubelfzo0	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

Proof of Theorem subsubelfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 12508	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2		elfzo0 12508	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
9		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
12		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)))
13	12	bicomd 213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) ↔ (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼))
14	8, 11, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) ↔ (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼))
15	14	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼)
16		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
20		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
21	17, 19, 20	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
22		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑁 → 𝐴 ≤ 𝑁))
23	5, 4, 22	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐴 < 𝑁 → 𝐴 ≤ 𝑁))
24	23	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐴 ≤ 𝑁))
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ≤ 𝑁)
26		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
27	4, 6, 26	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
28	25, 27	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐴))
29		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝐴)))
30	21, 28, 29	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0)
32		simplr1 1103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
33		nn0sub 11343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
34	31, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
35	15, 34	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)
36		elnn0uz 11725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0))
37	35, 36	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0))
38	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
39	38	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
40	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℝ)
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℝ)
42	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
44	42, 5, 7	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
45	41, 43, 44	ltsub1d 10636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴))))
46		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
48		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
49		nncan 10310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) = 𝐴)
50	47, 48, 49	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) = 𝐴)
51	50	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
52	51	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
53	45, 52	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
54	53	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
56	55	com3l 89	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
57	56	3impia 1261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
58	57	impcom 446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)
59	58	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)
60	37, 39, 59	3jca 1242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
61	60	exp31 630	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
62	2, 61	syl5bi 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
63	62	3adant2 1080	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
64	1, 63	sylbi 207	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
65	64	3imp 1256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
66		elfzo2 12473	. 2 ⊢ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴) ↔ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
67	65, 66	sylibr 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

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